SUGLI INl'EGliALI ESTESI AL CONTORNO, ECC. 257 



non è assolutamente convergente, abbia misura nulla, pongo per 

 definizione 



dx = — (pxdx 



jfi^^y) 



dove a e b sono i limiti inferiore e superiore delle ascisse dei 

 punti di m. 



Invece segando m con una retta y = cost ottengo una suc- 

 cessione di segmenti i cui estremi superiori abbiano per ascisse 

 x'i, x'2, ... e quelli inferiori rispettivamente x^, X2, ... e suppo- 

 nendo che il gruppo dei punti ij in cui 



U' </ = 2 [fi-v/, y)—f {Xi , y)\ 



i 



non è assolutamente convergente abbia misura nulla, porrò 

 ancora per definizione 



Cd 



f {^, y) <iy = ^y dy 



dove e e d sono i limiti delle ordinate dei punti di m. 



Se m e costituito da più campi connessi senza punti comuni 

 i cui contorni siano Si, S2, ... raccogliendo fra loro i termini 

 della sommatoria definente \\f che provengono da un medesimo 

 campo connesso, si dimostra facilmente che 



\fdy=\fdy+\fdi/-\-... 

 e analogamente per fdx. 



.1 s 



Osservo infine che le condizioni di convergenza richieste 

 per le serie che definiscono cp e qj sono certamente soddisfatte 

 in ogni campo contenuto nel rettangolo di lati x = a, x = b, 

 y = e, y = d se /' {x, //) è funzione assolutamente continua (^) 

 di y quando x varia fra a e b escluso un insieme di misura 

 nulla, ed è funzione assolutamente continua di x quando y 

 varia fra e e d escluso ancora un insieme di misura nulla. 



(^) G. Vitali, Sulle funzioni integrali. " Atti d. R. Accademia d. Scienze 

 di Torino „, voi. 40 (1904-5), p. 1021-1036. 



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