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9. — Teorema. Dato un ccnn/m piano aperto O di contorno s, 

 e due funzioni P (x, y), Q (x. y) delle rariahili reali x e y per 

 le quali supponga : 



a) l'insieme dei valori x pei quali P (x, y) non r funzione 

 assolutamente continua di y, coìne jture quello dei valori y in cui 

 Q (x, y) noìi è funzione assolutamente continua di x, hanno misura 

 (lineare) nulla: 



Q ì)P{x.ii) ì)Q[x,ìt) . , ,.,. j^ • 1 A • ^ 



P) . , - -^— ^otio integrabili superficialmente m (S; 



allora vale la identità (^) 



DiM. — Nelle ipotesi poste, per il teorema di Fubini sugli 

 integrali superficiali, si ha 



dove 'y dx è esteso alla seziono fatta in (J da una retta 

 .' nx 



yz=cost, cioè a una successione di intervalli non sovrapposti, 



e quindi per la assoluta continuità di Q vale la somma degli 



incrementi di Q relativi a ciascuno di questi intervalli. Ora 



l'integrale di questa somma, che è funzione di //, è appunto per 



definizione Q (r, //) dy onde 



Jfì Ì).T • }s • 



(*) Dko la notazione f f(xy)dxif per indicare l'integrale ili /" esteso al- 

 l'area o invece di fi' f dx ihi oppure iV'/a perchè il primo di questi inte- 

 grali 8Ì puf) confondere con un inte>>;rale iterato elio può non esserj^li 

 equivalente e può indurre in errori nel cainbiamentn di variabili, mentre 

 la notazione del secondo è incompleta. 



