SUGLI INTEGRALI ESTESI AL CONTORNO, ECC. 259 



Similmente ragionando per \ -~ di/ si ottiene una somma di 

 incrementi di P che è funzione di a; e il cui integrale è per 



definizione 



Pdx, onde 



e rimane dimostrato il teorema. 



Ne risulta immediatamente che la condizione necessaria e 

 sufficiente affinchè l'integrale | P dx -|- Q dx esteso al contorno di 

 qualunque campo contenuto in (5 sia nullo, nelle ipotèsi del teorema 



precedente è che l'insieme dei punti in cui — ^ non è uguale 



a zero abbia misura nulla. 



Quindi p. es. il teorema di Cauchy 



u, U) = i f -"^ & 



W=2j.T 



varrà quando s sia il contorno di un campo qualunque in cui 

 IV [t] è funzione regolare dei punti t del campo. 



10. — Supposto u e V funzioni assolutamente continue di 

 due variabili insieme alle loro derivate prime e i cui quadrati, 

 come pure quelli delle derivate seconde, siano integrabili in (J, si ha: 



li" H - %f ) ^'^ -{''%-' ^i) ^"^ ^ \o^'' ^' ~ ' ^^*^ ^"^^^ 

 Infatti nelle ipotesi poste si ha per il teorema del n. 9 



d ( ì)i' àu\ , ò I òv ò«\l j 



ì)x \ òx hx I hy \ òy ày / \ • 



r / òi^ ^^^\ rJ ( — - • ~—\ d 



}s\ dx òx ) ^ \ òy òy ì 



mentre 



b ( òv òu\ I r) / òv òu\ 



r— W V . H U V = 



ox \ dx òx I òy \ òy òy I 



lò^v , b^v\ /òhi 1 ò'hc\ . . 



cosi resta dimostrato in campi qualunque il 2*» lemma di Green. 

 Atti della R. Accademia — Voi. XLIX. 17* 



