SULLE CONGRUENZE RETTILINEE W, ECC. 21)3 



fochi risp. SU quelle due linee, stanno nella congruenza lineare 

 speciale composta delle tangenti a E nei punti di l (congruenza 

 lineare che ha per direttrici Z e la generatrice di li infinitamente 

 vicina ad l). D'altronde ognuna di esse è pur tangente a S, per 

 ipotesi, in un punto di L; sta cioè nel piano che in quel punto 

 è tangente a S, vale a dire (essendo L asintotica) osculatore a L. 

 Possiamo dunque applicare a L il lemma del n. 1 ; e conclu- 

 diamo: Ogni asintotica di S, del suddetto sistema, appartiene {con 

 le sue tangenti) ad mi complesso lineare di rette. Questo complesso 

 contiene la congruenza lineare delle tangenti ad R nei punti 

 della generatrice l corrispondente a quell'asintotica L di S. 



3. — Supponiamo ora che anche S, come R, sia rigata. Si 

 tratti cioè di congruenze W le cui falde focali siano entrambe ri- 

 gate. In un'altra Nota (^) io mi ero occupato, come già aveva 

 fatto il sig. Bianchi, del caso in cui alle generati-ici rettilinee 

 di una falda focale (o ad un sistema di tali generatrici, se si 

 tratta di una quadrica) corrispondano sull'altra falda focale ge- 

 neratrici rettilinee. Ora invece siamo (secondo il n. 2) nell'altra 

 ipotesi: che alle generatrici considerato di R corrispondano 

 sulla S le asintotiche che non son rettilinee. Vedremo facilmente 

 che quest'ipotesi non dà nulla di nuovo (^). 



Applichiamo in fatti la proposizione del n. 2, tenendo conto 

 che adesso la superficie S è rigata. Per ognuna, L, delle curve 

 asintotiche di cui ivi si parla, il complesso lineare di rette, che 

 ne contiene le tangenti, contiene tutte le rette che passano per 

 un punto di L e giacciono nel rispettivo (piano osculatole di />, 



(^) Le congruenze rettilinee W aderenti a due superfìcie ri(/ute, in questi 

 Atti, voi. 42 (1907), p. .539. 



(^) Cfr. M. PicoNE, Sulle congruenze rettilinee T^IVRendic' Circolo matem" 

 di Palermo, t. 37, (1914),. (L'estratto è uscito nell'ottobre 1913). Il risul- 

 tato di questo Autore, per quel che riguarda l'attuale problema, non coin- 

 cide con quello che qui otterremo (n. 6). Informato di ciò, il sig. Picone 

 ha proseguito ulteriormente i suoi calcoli, giungendo infine a conclusioni 

 concordanti colie nostre: come apparirà in una nuova Nota di lui, in quei 

 Rendiconti. 



Cfr. anche le parole di E. J. Wilczynski alla fine del § 9 della sua 

 Memoria premiata Sur la théorie generale des congruences, Mém. (in-4'') de 

 l'Acad. de Belgique, (2) t. 3, 1911. 



