SDLLE CONGRUENZE RETTILINEE W, ECC. 297 



in quei piani da questi punti, fasci che stanno nei due com- 

 plessi lineari di L, Lj. 



Analiticamente: le 4 coordinate Xi dei punti x di -S siano date 

 funzioni di m, v, si che le linee u ^= cost., v = cost. siano i due 

 sistemi di asintotiche. Indicando con Gì,, {i, k = 1, ... 4) delle 

 funzioni di u tali che Un, -\- ciu = 0, scriviamo l'equazione del 

 complesso lineare di rette a cui appartenga, per ipotesi, la 

 ?/ = cost., così: 



S^ifc Xi yh = 



(essendo xi/ due punti di una retta del complesso). Il piano che 

 corrisponde al punto x di S rispetto a quel complesso lineare 

 è il piano tangente in x a,d S, e quindi il piano osculatore in x 

 alla r=cost. Contiene dunque i punti a;', a?" (se cogli apici, in- 

 dichiamo le derivazioni rispetto ad u); sicché: 



2 ciik Xi Xk = 

 ì rtj7i Xi Xh =0. 



Derivando rispetto ad u la 1'' di queste identità e tenendo conto 

 della 2* abbiamo: 



V a,./ Xi Xk = 0. 



Questa esprime che la retta dei punti .r .e', vale a dire la tan- 

 gente in X alla v ^= cost., sta nel complesso lineare atk', ben de- 

 terminato quando u e fissata, e diverso dal complesso «,>, in cui 

 pure varia quella retta. 



8. — Così gli col complessi lineari di rette a cui appar- 

 tengono, per ipotesi, le asintotiche L di un sistema, della super- 

 ficie S, portano a considerare ooi congruenze lineari, colle loro 

 coppie di direttrici^, h, e le rigate G, fl" descritte da queste (^). 

 Quelle congruenze lineari costituiscono un complesso particolare 



("') Si vede subito che G, H sono, in generale, le due falde focali di 

 una congruenza W che fa corrispondere su esse due generatrici, come g, fi. 

 Cfr. (-). 



