SULLE CONGRUENZE RETTILINEE W, ECC. 301 



dono acl a rispetto agli oo^ complessi lineari C. Se « sta su 

 una superficie 8, soluzione del nostro problema, il piano a tan- 

 gente ad S in a sarà uno dei piani ora nominati. Cosi pure, se, 

 invece di quel cono, prendiamo il cono inviluppato dai piani 

 corrispondenti ad a rispetto agli r/;i complessi lineari F. 



Ciò posto, ad ogni punto a dello spazio si associ un piano a 

 quando questo sia tangente ad entrambi quei coni uscenti da a. 

 Otterremo così, in generale, (se esistono tali piani tangenti co- 

 muni) oo3 elementi composti di punto e piano incidenti {faccette, 

 come dice il sig. Bianchi). Ciò è l'equivalente geometrico di 

 un'equazione (di Pfaff) ai differenziali totali fra le 3 coordinate 

 non omogenee x y z di punto, della forma 



Xdx + Ydy -}- Zdz = 



(ove X Y, Z son funzioni date di quelle 3 coordinate). Noi 

 vogliamo dimostrare che quegli oo^ elementi si posson raggrup- 

 pare in oqI sistemi costituiti ognuno dsig\i elementi {j^unto e piafìo 

 tangente) di una superficie {integrale). E ciò è come dire che 

 il l" membro di quell'equazione, alterato per un conveniente 

 fattore, si può esprimere come il differenziale totale di una fun- 

 zione di X, y, z. È ben noto che la condizione perchè ciò av- 

 venga (condizione d'integrabilità) è: 



Dobbiamo mostrare che essa è verificata {^^). 



11. — A questo scopo mettiamo quella condizione sotto 

 forma geometrica. 



Fissato un elemento {a, a) di una varietà oo^ di elementi, 

 prendiamo un punto a^ infinitamente vicino ad a, nel piano a (^i); 



0^) Possiamo anche dire cosi. Ognuno dei due coni uscenti da a, fra i 

 cui piani tangenti deve trovarsi a, ci dà un'equazione alle derivate par- 

 ziali, di 1" ordine, per la funzione z di x, y, che definisce la superficie S. 

 Il nostro asserto equivale a questo : che queste due equazioni alle derivate 

 parziali sono in involuzione. 



(^') Od anche a una distanza da a che sia infinitesima d'ordine supe- 

 riore rispetto al segmento aa\. 



