SOPRA ALCUNE ESTENSIONI DEI TEOREMI DI GULDINO 579 



e, per la (1): 



(2) S^}\l(P,-P„)Xi(f + ^)dt, 



che è pure l'area descritta dal segmento di estremi Pq, P^ (*). 

 Si è COSÌ dimostrato in modo rigoroso (Cfr. Bardelli, loc. cit., 

 p. 292) che l'area generata da un arco di curva di forma inva- 

 riabile, che si muove in un piano di moto arbitrario, è sempre 

 eguale all'area -descritta dalla corda che sottende l'arco. 



È da notarsi che questa proprietà, geometricamente intui- 

 tiva (**), vale senza alcuna restrizione tanto per l'arco di curva 

 considerato, che può per es. essere intrecciato, quanto per il 

 moto, nel quale le traiettorie dei vari punti dell'arco possono 

 (in parte) sovrapporsi. Basterà convenire, com'è indicato dal- 

 l'espressione di S, di assumere come positivo o negativo ogni 

 elemento d'area descritta da un elemento ds dell'arco a seconda 

 che per portare a coincidere il vettore unitario parallelo alla 

 tangente all'arco, nel senso delle u crescenti, con il vettore 

 unitario parallelo alla traiettoria nel senso delle t crescenti, 

 occorre una rotazione — minore d'un angolo piatto — positiva 

 o negativa. 



2. — Se due punti P, Q funzioni di t variano in un piano, 

 l'elemento di area descritta dal segmento PQ, è eguale al mo- 

 dulo del hi vettore: 



{Q-P) ^^t^^ ={Q~P)dG, 



essendo G il punto medio del detto segmento PQ (***) ; per cui 



(*) C. BcuALi-FoRTi, Corso ecc. cit., p. 259. 



(**) Tale proprietà è anzi evidente geometricamente, quando si tratti di 

 archi non intrecciati e non avvengano sovrapposizioni nel moto; infatti, 

 tutto si riduce allora ad aggiungere o togliere l'area compresa fra l'arco 

 e la corda. 



(***) V., p. es., G. Peano, Lezioni di analif^i infinitesimale (Torino, Cande- 

 letti, 1893.1, t. II, § 394, p. 225. 



