580 MATTEO BOTTASSO 



l'area descritta dal segmento PQ comunque variabile nel piano 

 nell'intervallo t^'^t^, è: 



mod p [Q — P) dG, od anche : P' [Q^P)X idG. 



Cioè: Se un segmento si muove e varia comunque in un piano, 

 l'elemento di area da esso descritto è eguale al prodotto della lun- 

 ghezza del segmento per la proiezione, sulla normale a quest'ul- 

 timo, dello spostamento subito dal suo baricentro. 



Ora, una proprietà affatto analoga sussiste per il volume 

 descritto da una parte finita di piano comunque variabile e 

 mobile nello spazio, com'è dimostrato nel n" 4. Occorre però 

 premettere un teorema, che possiamo mettere sotto la forma 

 generale enunciata nel n° seguente; tale teorema si può riguar- 

 dare come estensione, agli integrali superficiali di formazioni 

 geometriche, del noto teorema relativo alla derivazione d'un 

 integrale. 



Volume generato da una superficie piana 

 che si muove deformandosi, ma conservandosi piana. 



3. — Si abbia una superficie limitata mobile, d'area cr, 

 funzione della variabile t e sia P{u.u,t) un punto generico di 

 tale superficie, funzione delle tre variabili n, t\ t, in guisa che 

 assegnato un valore a t per Uq^u ^tii, Vq<,v -^.t'i si otten- 

 gano tutti i punti della superficie corrispondenti a quel valore. 

 Sia poi p (P) una F,., per r = 1, 2, 3, 4 (cioè una formazione geo- 

 metrica di Grassmann-Peano di specie ;• (*)), funzione del punto 1* 

 variabile sulla superficie e q{t) una F,. (r=1.2. 3, 4) funzione 

 soltanto delia variabile t. Si ha il 



(*) V., p. es., C. BcRALi-FoKTi, Corso di Geometria ecc. cit., dij). I, S 1 t* 

 Gap. IV. § 1. 



