SOPKA ALCUNE ESTENSIONI DEI TEOREMI DI GULDINO ÒS$ 



Inoltre, supposto ora F variabile in I ed indicato con a una 

 forma di terza specie del piano di Z (funzione, al pari di T, 

 della sola variabile t), dalla: 





e per essere Pa = 0. qualunque sia f, ne segue Po" = 0, cioè 

 il punto Po individuato dalla (5), giace sempre, come P, nel piana 

 di I. 



Se quindi nella: 



(6) [ Pda = aG, 



che definisce il centro di gravità G della superficie Z. deriviamo 

 ambo i membri rispetto a t, s'ottiene: 



(') \Ji <^" = " f + f (« - ^o) ' 



ove il vettore G — Pq risulta parallelo al piano dell'area Z. 

 Perciò, se n e un vettore unitario normale a questo piano,, 

 si ha: 



lo ^^ ^ (if ^^') ■ '^^ = (^ ■'^^XdG; 



e poiché il primo membro dell'eguaglianza ultima esprime l'ele- 



dV 

 mento di volume -——dt generato da Z nel tempo dt , essendo 



dt ri 



ovviamente da . n Y -^ dt il volume elementare generato in 



tale tempo infinitesimo dall'elemento da di Z, risulta dimostrata 

 il teorema, cioè è: 



(8) dV=a .uXdG. 



Osservazione P. — La proprietà ora dimostrata si può 

 ottenere in modo più rapido e semplice, senza il lemma del 

 n<> 3, quando la superfìcie Z mantiene invariata col tempo la sua 

 area a (cioè il numero che esprime la misura di Z). 



