SOPRA ALCUNE ESTENSIONI DEI TEOREMI DI GULDINO 593 



Perciò, siccome nel caso considerato il vettore areolare è {*): 



I [ {P-0)^dP = I [^ rotp [i {P-0)]da = an, 



la (19) diventa: 



(19") V=a[' n XdG, 



espressione che nel n'^ 4 si è riconosciuta esser valida anche 

 nel caso di un'area piana, limitata da un contorno s, comunque 

 variabile col tempo. 



In particolare, per una rotazione intorno ad un asse Oi 

 appartenente al piano di X, si ha (teorema di Guldino) che il 

 volume generato è dato dal prodotto dell'area (5 per l'arco descritto 

 dal suo baricentro. 



Quando invece Oi non giace nel piano di Z, è costante 

 l'angolo a che questo piano forma col piano OlG, e se de è 

 l'elemento d'arco di circonferenza percorsa da G, si ha: 



fi [ti 



V=ci \ n Y dG = o cos a . de, 



ossia : il volume generato dalla superfìcie piana Z, iìi una rota- 

 zione intorno ad un asse arbitrario, è eguale al prodotto dell'arco 

 descritto dal baricentro G di T per l'area della proiezione di 

 questa superficie sul piano individuato dal baricentro G e dall'asse 

 di rotazione. 



Osservazione. — È da notarsi che questo enunciato al 

 quale ci ha direttamente condotti il metodo vettoriale usato 

 per ricavare la (19"), è affatto simile al teorema di Guldino ed 

 è più semplice dell'enunciato dato dal Koenigs (che l'ha rica- 

 vato mediante le sue considerazioni sui momenti ; loc. cit.» 

 § XI), che s'ottiene dal nostro sostituendo al baricentro G, di Z, 



(*) V., per es., M. Bottasso, Omografie vettoriali del piano, " Rendic. del 

 Gire. Matem. di Palermo „, t. XXXV, 1913, pp. 1-46, n" 25, (91') e Transf. 

 Un., p. 70 [1], p. 68 [l'J, osservando inoltre cho l'omografia i del piano 

 di s ha come vettore n. 



