SULLE CDKVE IPERELLITTICHE, ECC. 709 



zioni del gruppo finito G ; — ovvero è finito il numero delle ope- 

 razioni che trasformano in sé stesso un sottogruppo di (j, od anche 

 una sola operazione di G; — è finito il numero di tutte le ope- 

 razioni della stessa specie che trasformano G in sé stesso (è 

 finito I). 



Questa osservazione permette di trovare subito, con metodo 

 unico, i gruppi di trasformazioni lineari che trasformano in sé 

 i 5 gruppi poliedrali. Eccoli: 



1. Il piti ampio gruppo di trasformazioni lineari che con- 

 tiene come invariante (che trasforma in sé stesso) un gruppo ci- 

 clico G,/" è il gruppo infinito 1,/^' e 



X 



bitrarii 



2. Il più ampio gruppo di trasformazioni lineari che con- 

 tiene come invariante (che trasforma in sé stesso) un gruppo die- 

 drale G2,/^', p>er n > 2. è il gruppo diedrale di ordine doppio: 

 Ig»'^' =■■ ^ia^'- P^r n =- 2, il più amplio gruppo contenente come in- 

 variante il Gi'^' é il gruppo ottaedrale: Z4*'* = 6r24 *'• 



3. // più ampio gruppo trasformante in sé stesso (che con- 

 tiene come invariante) il gruppo tetraedale é quello ottaedrale: 



Y dì /o (8) 



4-5. // gruppo ottaedrale e quello icosaedrale non sono con- 

 tenuti, come invarianti, in nessun altro gruppo di sostituzioni li- 

 neari, né finito, né iìifinito. 



3. Forme poliedrali normali proiettivamente indipendenti. 



Se le due forme /" e cp ammettono lo stesso gruppo G, 

 ed S è una sostituzione che trasforma f in qp. ogni G S (od 

 ogni S (?) farà altrettanto. Da ciò e dal paragrafo precedente 

 si deduce che: 



1. Tutte le forme normali proiettive ad una forma ciclica 

 normale si ottengono applicando a questa le sostituzioni x' =^ kx 



(k =4= e " , r = 0, 1, 2, ..,, n — ^ 1), x' = — {k! arbitrario). 



2. Tutte le forme normali proiettive ad una forma diedrale 

 normale si ottengono, se n > 2, applicandovi la sola sostituzione 



