SULLE CURVE IPERELLITTICHE, ECC. 717 



Convenendo di scegliere il solo segno positivo, tutte le 

 :trasformazioni come queste ultime, corrispondenti a quelle lineari 

 del gruppo di diramazione, formano un gruppo in isomorfismo 

 ■ oloedrico con quello poliedrale cui appartiene la (4). 



Ora, parte 1, § 5, — dato il genere ed il gruppo polie- 

 drale, — tutti i moduli della curva iperellittica, tranne certi X, 

 sono numericamente fissati. E tenendo presente la conclusione 

 del § precedente, deduciamo: 



Noti gli intieri in.i ed i coefficienti €fc delle relazioni 



{!') i. /w.i uj,, = Efe ujw (^= 1,2. ...,/>)(/ = 1,2, ,..,2^), 



per tutte le trasformazioni birazionali della curva in sé, queste 

 relazioni lasciano determinare, in generale, tutti i 2p2 periodi uj^r, 

 meno quelli che dipendono dai \ moduli della curva rimasti arbi- 

 trarii. 



Considerando gli integrali iperellittici 



Ui(x)=\ z r-^ [t— l, ^, ...,p), 



J yf{xi,x2) 



-ed applicando ad x le sostituzioni 



•2kjTi 



x'i = exi, x'.2 =^2, e = e " (A; = 0,1, ...,n — 1), 



si ottiene subito : 



et =—7-- (^=1,2,...,^), 



ìic 



dove e e una radice n"^"" dell'unità che si calcola caso per caso, 

 senza difficoltà. 



Il problema dei moduli, per una curva iperellittica a gruppo 

 di diramazione ammettente un gruppo ciclico, è dunque risoluto 

 £on la sola determinazione degli intieri m,i. 



Gli altri casi dipendono da questo. 



