DEFINIZIONE PROIETTIVO-DIFFERENZIALE DI UNA SUPERFICIE 787 



spontaneo una forma differenziale del Pascal (*), che noi esami- 

 niamo per brevità in un caso specialmente importante, confer- 

 mando poi per altra via i risultati ottenuti. 



§ 1. — Sezioni piane di una superfìcie. 



Condizione necessaria e sufficiente affinchè una corrispondenza 

 tra i punti di due superficie S, Z sia una corrispondenza proiettiva 

 è che alle sezioni piane di S corrispondano le sezioni piane di Z. 



Che la condizione sia necessaria è ben evidente. E per le 

 superficie algebriche è anche ben chiaro che la condizione è suf- 

 ficiente. Infatti, se r è una retta qualsiasi, alle sezioni di S coi 

 piani passanti per r corrisponderanno le sezioni fatte su T coi 

 piani passanti per quella retta p, che incontra Z nei punti B 

 corrispondenti ai punti A, ove r incontra S (i quali punti B 

 devono necessariamente essere collineari). Vale a dire la nostra 

 corrispondenza individua una corrispondenza tra piani tale che ai 

 piani passanti per una retta r corrispondono piani passanti per 

 una retta p: la nostra corrispondenza è dunque una collineazione. 



Per dimostrare, anche nel caso generale, che la condizione 

 è sufficiente, si procede nel seguente modo. Pensiamo le super- 

 ficie »S', Z come immerse in spazii distinti; e, se ABCD è un 

 tetraedro inscritto in S, ed A'B'C'J)' il corrispondente inscritto 

 in Z (cioè se A', B', ecc. sono i punti di Z corrispondenti ai 

 punti A, B, ecc. di S), scegliamo nei due spazii i piani BCD 

 e B'C'D' a piani all'infinito, i piani ABC ed A'B'C a piani 

 x-=0, ACD ed A'C'D' a piani i/ = 0, i piani ADB ed A'D'B' a 

 piani « =: (essendo x, i/, z coordinate cartesiane ortogonali 

 no). Indicheremo con lettere maiuscole le coordinate di un 

 punto di Z. Ai piani del fascio BC corrispondono piani del 

 fascio B'C ; cioè a piani x = cost. corrispondono piani X=cost. 

 Ossia X si può considerare (su S) come funzione della sola x, 

 e analogamente Y della y, Z della z. In simboli X = (p {x), 

 Y=:f{ì/), Z:=F{z). Ai piani del fascio AC corrispondono i 



piani del fascio A'C; cioè ai piani — = cost. corrispondono i 



(*) Cfr. E. Pascal, La teoria delle forme differenziali di ordine e grado 

 qualunque. ' Mem. della R. Acc. dei Lincei „, ser. 5*, voi. 8 (1910). 



Atti della R. Accademia — Voi. XLIX. 63 



