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38 GUIDO FUBINI 



j)iani ' = cost. Danque - si può considerare (su S) funzione- 



ecc. 



(li -, e similmente - di ^- , 

 y z z 



Due delle tre variabili a?, y, z si possono considerare (su S) 

 indipendenti. Si deduce subito (annullando p. es. lo lacobiano 



delle —, V che sarà: 



(1) X=--c,x\ Y=c,ij\ Z=c,z\ 



(ci, C2, C3, k costanti). 



Consideriamo due piani a- = a, y = ^, dove a, p sono cosi 

 piccoli che la retta r loro intersezione incontri S in più punti 

 distinti H, K, ... Ad essi corrisponderanno i piani A'=Cia\ 

 F^zCjP^ incontranti I nei punti H' , K', ... immagine dei 



punti H, K, ... Ai piani del fascio per r, cioè ai piani -— g = cost. 

 corrisponderanno i piani del fascio H'K' cioè i piani '- ~^' ^ . = cost. 

 Quindi -— — —7- = — -T — Q^ deve essere (per a , p abba- 



} — <;, p* rj y'' — P ^ 



stanza piccoli) funzione di g . E ciò può evidentemente av- 

 venire soltanto se A; = 1 (come si riconosce, p. es., annullando 



o""' — q'' 'y Q 



lo lacobiano delle .. ... e „ 



y — p y — P 



Le (1) per ^= 1 ci dicono appunto che 5, Z sono collineari. 



§ 2. — Il problema fondamentale. 



Acquista dunque senso preciso il problema: 



Data la equazione v = q) [ti, a, b, e) delle oc^ sezioni piane 

 di una superficie S (dipendenti dai tre parametri indipendenti a, 

 b, e), si deducano le equazioni paramet ciche della superfìcie S. Noi 

 vedremo che tale determinazione richiede (quando è possibile) 

 SOLTANTO delle quadrature. 



Dai risultati del § 1 sappiamo già che questo problema 

 ammette una unica soluzione, se consideriamo identiche due 

 superficie collineari. 



Per risolverlo noi ricorderemo che le sezioni passanti per 



un punto A o per le quali il valore in .1 di ' "- è una costante k 

 ' ^ (fu 



