DEFINIZIONE PKOIETTIVO-DIFFERENZIALE DI UNA SUPERFICIE 789 



determinano un fascio di piani, la cui retta sostegno descrive, 

 al variare di k, un fascio di rette, per il quale k si può con- 

 siderare come coordinata. 



Partendo da questa osservazione, indichiamo con m una 

 funzione generica delle a, 6, e e scriviamo le equazioni: 



(l)i v = (? {u, a, h, e) 



(1)2 t'i = qp («1, a, h,c) 



(1)3 k = qp^Wi, a, h, e) 



{1)4 m^=<^ {a,h,c). 



La (1)2 e la (1)3 ci dicono che la sezione piana (1), passa 



per il punto «*i, l\ e che in questo punto ~ calcolato su tale 



sezione ha il valore k. Eliminando a, b, e dalle (1) noi troveremo 



un'equazione : 



(2) m = F {u, V, III, 'Vi, k). 



Teniamo fisso il punto u^, v^. Al variare di m la (2) ci de- 

 finisce tutte le sezioni passanti per il- punto {iii, v^) e per una 

 retta tangente ad S uscente da questo punto. Per il fascio di 

 queste rette tangenti la k sarà poi una coordinata proiettiva 

 (non omogenea). Se scegliamo il piano tangente in {u^ , Vi) ad S 

 come piano all'infinito, e il punto u^, v^ come punto all'infinito 

 dell'asse delle z, noi potremo ancora fissare le x, y (*) in guisa che 

 la (1) equivalga su S, per ogni valore di k, ad una equazione 

 X -]- ky = cost. Dunque x eà y saranno su S tali funzioni x {u, v) 

 ed y {u, v) delle u, v che F{u, v, k) sia per ogni valore di k fun- 

 zione di x{u, v) -\- ky {u, e). Notiamo che qui abbiamo sottinteso 

 le Mi, ^1 tenute fisse; altrimenti avremmo dovuto considerare 

 anche x eà. y come funzioni x (u, v, u-^ , Vi) e y (n, i\ «1, Vy) delle w, 

 V, Iti, f-h e dire che F è per ogni sistema di valori delle Ui, t\. k 

 funzione di x -\- ky. Noi scriveremo dunque che F{u,v,k) è 

 funzione di k e dì x -\- ky [che F {ti, v, u^, ti, k) è funzione di 

 «1, Oi, k, X {u, v) + ky (u, v)], cosicché 



Fu{u;r,k) Xu -\- ki/u 



Fv {u, V, k) Xv' + ki/v' 



sarà una funzione lineare ' y'' ^^ y 'l' j"' ^^ ^[ J^.^ 



(*) Le X, ij, z essendo coordinate cartesiane ortogonali od obblique. 



