790 GUIDO FDBINI 



Le rp'u, Xj, y'y, if\ saranno dunque proporzionali ai coeffi- 

 cienti 5i , E2, ^1, ri2 di tale funzione lineare: coefficienti noti (a 

 meno naturalmente di un fattore) quando sia data la F, cioè 

 la qp. E quindi potremo sciivere: 



(3) dx = M{l^dn-\-l.,dv) 



(4) dij==^M{^ydu^x\.^dv), 



dove le E, n sono note, il fattore integrante J/ è incognito. 

 Poiché le X, y si devono poter assumere a variabili indipen- 

 denti, ?i TI2 — 2o r\i -'- 0. Scrivendo che M è fattore integrante 



delle (3), (4) potremo perciò ricavarne i valori di — ^ ^ > 

 — r=-^. e quindi con quadrature il valore di M (determinato a 



Or 



meno di un fattore costante). Integrando poi le (3), (4), se ne 

 trarranno le .r, y (a meno di costanti additive). Tutte queste 

 costanti indeterminate non corrispondono affatto a una indeter- 

 minazione del problema, perchè si possono eliminare con una 

 conveniente collineazione. 



Noi indicheremo con x^, y^ i valori cosi ottenuti per le r, </, 

 per ricordare che esse in realtà dipendono anche dal punto 

 (mi,/'i) considerato. Corrispondentemente a un'altra coppia di 

 valori (m2. ^2) troveremo altre funzioni x^, y^ tali che un'equa- 

 zione X2 -{- ^2 y2 = fh (dove A2 » ^^2 sono costanti) rappresentano 

 una sezione piana di <Sf passante per il punto («2» '^'2). cosi come 

 le equazioni ì^i -j- ^*i //i = /«i (^i,^"i costanti) rappresentano se- 

 zioni passanti per il punto Ui^Vi. E poiché tra tutte queste 

 sezioni ve ne sono x' passanti contemporaneamente per i punti 

 (mi , Vi) ed {u2, fg), esisteranno 00 1 sistemi di valori per le /tj, A», 

 ki,k., tali che le equazioni Xi -\- kiy, = h, per /=1,2 rappre- 

 sentino le stesse sezioni. Anzi i valori corrispondenti di k^^k^ 

 sono in corrispondenza lineare, perchè le 00 ^ sezioni ora consi- 

 derate determinano sui piani tangenti in (M,.rj) ed in (1/2, '"2) 

 due fasci proiettivi. E noi potremo fare una tale trasformazione 

 lineare intera p. es. sulle .rg. //2 in guisa che sia /r, =; Ajg, cioè 

 che gli 00' piani .r, -f- ^//i = ^'i coincidano con infiniti piani 

 Xj 4- ^«/2 = ^2 • 1 valori di /t, e quello di h^ si determinano os- 

 servando che questi piani passano per i punti (j/j, r,) e (i/j, v<,). 



