DEFINIZIONE PROIETTIVO-DIFFERENZIALE DI UNA SUPERFICIE 791 



Perciò i piani: 



[xi {u, v) — Xi (w2, v^)] + ^ [«/i (m, v) — yy («2, V2)] = 

 coincidono coi piani: 



[x^ {u, v) — X2 (mi , i\)] -h A: [1/2 {u, v) — y^ {th , n)] = 0. 



Ora sia z^ la terza coordinata cartesiana di un punto di S 

 (quando x^^y-^ sono le altre due); anche Xi^y^ si possono in 

 unione a una terza variabile z^ pensare come altre coordinate 

 cartesiane di S (quando però siano cambiati tanto gli assi coor- 

 dinati, che il piano all'infinito). Perciò X2,y'2,Z2 saranno fun- 

 zioni lineari fratte di x^ , y-^ , z^ . 



Ricordando quanto abbiamo detto per i piani passanti per 

 i punti (mi, Vi) e [u^, v^) avremo che sarà in particolare 



, . Xi — Xi (t<2 , Vi) 



y, - y, [u, ,..,)= v,-m (>•„'■,) 



dove /J, $, r, s sono costanti. Se il punto (m2, ^2) è scelto in modo 

 generico in guisa che il piano tt tangente nel punto («2, ^2) non 

 passi per (mj , ^i) sarà r =4= 0; perchè px^ + qy^ + *'^i -f- s =■" è 

 l'equazione di tt nel sistema di coordinate rr, , y, , ^Jj . E, se fosse 

 r = 0, il piano n sarebbe un piano x^ + %i = A (^, '* = cost.), 

 e passerebbe per Ux^v^. Noi potremo dunque, cambiando an- 

 cora una volta coordinate, assumere a coordinate cartesiane le 



^ — ^\, y = yi^ z=pXy-^qyi-\-rzy^s. 



Cosi dunque le equazioni parametriche della superficie sono 

 date da: 



x = x, [u, v) , y = ij, {u, v) , z = ^^_^^(,,_^,,^)- 



che risolvono il nostro problema. 



Riassumendo brevemente, quando sieno trovate le funzioni 

 x{u, v\ Wj, r,) e y {il, e; Ui, o^) (ciò che si sa fare con sole qua- 



