792 GUIDO FDBINI 



dralure) si possono assumere ad equazioni parametriche della 

 superficie le 



V^J J x{u,v; u,,rt) — a; («a, f,; »i, r,ì 



' a[x{u,v; Mj, Vi) — a: (u,, w, ; «2, f»)] + P [«/(«. »; "2. ^z) — .V ("1. «'o "i. »'s)] 



dove i punti (uj, t),) e {11^, Vo) sono punti fissi generici, e le co- 

 stanti a, 3 sono scelte (com'è possibile certamente) in modo che 

 coincidano le sezioni rappresentate dalle equazioni 



x{u, 0\ «i,fi) —X{U2,V2\ «1, Vi) = 



a [x{u, v\ Mg, v^) — x{uy, Vi;ti2, v^)] -\- 



-f- (B [y (u, v; Mg, ^2) — yi^i, i'i ; «2, "2)] = 0. 



Il problema da noi posto non è sempre possibile: perchè 

 non ogni equazione «; = cp [u, a, b, e) può rappresentare le cc^ se- 

 zioni piane di una superficie; lo studio precedente ci insegna a 

 trovare le condizioni necessarie e sufficienti affinchè questo av- 

 venga. Come abbiamo già visto, è intanto necessario che l'equa- 

 zione di una sezione piana si possa, con certe eliminazioni ese- 

 guite sulle (1), ridurre alla forma: 



jH = F\k; 7(, d;x {u, v, u, v) -\- ky (w, v; u, v)] , 



dove con u, v indico le variabili, a cui nelle pagine precedenti 

 abbiamo dato successivamente i valori Mj,r, ed u.,, r^. La t5 e 

 la /e sono i valori di v e di v' per u = u (i valori iniziali di v 

 e di v')\ come costante m si potrebbe, volendo, scegliere il va- 

 lore iniziale di v". Sarà poi ulteriormente necessario e suffi- 

 ciente che le x{u, D'^Ti,!)) e i/{u,i);u,v} siano funzioni lineari 

 fratte (a denominatore comune) a coefficienti funzioni delle 

 sole M, V delle variabili definite dalla (5). Non sarebbe certo 

 difficile scrivere pili esplicitamente queste condizioni; ma di ciò 

 non ci occuperemo. 



