DEFINIZIONE PliOIETTlVO DIFFERENZIALE DI DNA SUPERFICIE 793 



^ O. 



Equazione differenziale delle sezioni piane. 



Ma sembra più conveniente, per caratterizzare una super- 

 ficie, di dare l'equazione differenziale delle sezioni piane, piut- 

 tosto che darne l'equazione in termini finiti v = qp [u, a, b, e), 

 perchè i parametri a, è, e si possono scegliere in modo troppo 

 molteplice. Comincieremo dal caso che le «< = cost., y=rcost. 

 «ieno sezioni piane, cosicché l'equazione di una sezione piana 

 generica vale v -\- aie -\- b -\- cqp {u, v) = 0, ove qp è funzione 

 •delle u, V ed a, b, e sono i parametri, che si tratta di eliminare, 



•Si trova indicando con y' la ^, con v" la — ^, ecc. 



\ . dti ' du^ ' 





a -\- ccp'u 



l-{- Crp'v 



V 



1 -\-C(\)'r, 

 C 



-)(p::... -f2.>:, + .'^(p:( 



•donde: 



— V {(p„„ + 2v qp,„, t- ^' - 9.,) + 

 + ij" (qPuuu + 3 y' (pll -f 3 0^- ^Z^ -|- ^J'3 qp;;'„) + 3 y"^ (cpl, -|- q?;; v') = 0. 



Ecco la forma canonica di tale equazione. Se, come pos- 

 •siamo supporre, x = m, tj ^= v, 2; ^ qp (w, r) sono coordinate car- 

 tesiane ortogonali dei punti della nostra superficie, il primo 

 termine della nostra equazione vale (moltiplicato per dii^) 



= — v" Va {Ddu^ + 2 B'dudv + D" dv% 



Da cui già deduciamo un primo risultato, che sarà confer- 

 mato anche dai calcoli dei seguenti §§ per le piìi generali 

 coordinate curvilinee. 



