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GUIDO FUBINI 



Le linee asintotiche sono linee singolari per l'equazione delle 

 sezioni piane (e quindi, come è ben noto, si conservano per col- 

 lincazioni). 



Noi ora scriveremo la nostra equazione in coordinate ge- 

 nerali, e ne troveremo il primo membro sotto forma differen- 

 ziale. 



§ 4. — La forma fondamentale A. 



Indichiamo con Xi (i = 1, 2, 3, 4) coordinate proiettive omo- 

 genee: e siano Xì=Xì{u,v) le equazioni parametriche di una 

 superficie. Le X; sono determinate a meno di un fattore co- 

 mune. Le sezioni piane sono quelle, che rendono nulla la forma 

 differenziale 



(1) 



A = 



Xi X2 Xs x^ 



dxi dx2 dx^ dx^ 



d^Xi d^X2 d^Xs d^Xi 



d^Xi d^X2 d^Xs d^Xi 



0, come scriveremo brevemente: 



(1) 



hi» 



A = [xi, dxi, d^Xi, d^Xi). 



Gli elementi di ciascuna colonna si ottengono da quelli 

 scritti nella (1)*'*, ponendovi i := l,2,'ò, A. 



È ben evidente che: 



Se si moltiplicano le x^ per uno stesso fattore p (u, v), la 

 forma A resta moltiplicata per p^. Se si fa subire alle x, una 

 trasformazione lineare intera omogenea a coefficienti costanti (col- 

 lineazione), la forma A resta moltiplicata prr il determinante della 

 trasformazione ; tale forma individua Io sezioni piane e quindi, 

 per quanto abbiamo già visto, individua proiettivamente la su- 

 perficie corrispondente. 



Tale forma costituisce dunque l'invariante che noi cerca- 

 vamo. So si pone p. es. d^u = d^u = 0, e si divide per dn*^ dalla 

 forma A si deduce in coordinate curiHlince generali l'equazione 

 differenziale delle sezioni piane. 



