DEFINIZIONE PROIETTIVODIFFERENZIALE DI UNA SUPERFICIE 795 



Per trovare nel modo più semplice le relazioni tra A 

 e le forme di Gauss si ponga p, es. a^j := 1, X2 = x, Xs = y, 



Si otterrà : 



A = {dx, (Px, (Px) 



dove gli elementi scritti sono quelli della prima colonna, e 

 quelli delle altre colonne se ne deducono sostituendo la y e la 

 alla x. Sviluppando si trova: 



A = — {clHdu — d^udv) v'A {Ddu^ -f- 2D'dudv + D"dv^) + 



+ 3 [d^vdu — d^udv) ^A [Ddudhi + D'idudH + dvdhi) -f 



-r D"dvdH]-^ 

 + {dhdu — d^udv) \ d (VA D) du^ + 



-f 2d (Va d') dudv + d (Va d") dv^ + 4P3 Va ; + p, 



ove 



du . dv 



P,= )\^H"+i?(^^ I2 ì'^'' + |2^ì'^'' Ddu + D'dv 

 \ ^l I ^w + } ^f I ^«^ I \^ ( du ~^\^l\ dv D'du + D"dv 



e un polinomio (*) di terzo grado in du, dv e P^ è un polinomio 

 di 6° grado in du, dv. 



La forma A resta invariante, sia al mutare delle linee coor- 

 dinate, sia quattdo si effettui una collineazione unimodulare. 



I suoi coefficienti sono perciò invarianti per collineazioni (ma 

 non per cambiamento di coordinate). Un tale coefficiente è 

 p. es. Pg ; un altro, piìj semplice, di cui ci occuperemo più 

 avanti, è, p. es.: 



4 P3 Va + d (Va d) du^ + 2 ^ (Va d') du dv-^d (VA d") dv\ 



i*\ T> -1 11 • • 1- 1 ^~^ 11 da; , 11 ò.r , ^,^ 



( ; Per u calcolo si ncordino le v^ ^= { -, J -^; h '■ r, > ^>^ \- DX e 



nu^ { \ \ Oli [ 2 \ òv 



analoghe, dove con X, Y, Z sì indicano i coseni direttori della normale; e si 

 ricordi che (x,,', Xv, X) = Va . 



