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§ 5. — Significato geometrico e calcolo della forma A. 



Ponendo in A nulli i d'-u, d'^u, e dividendo per ^m'^', ed ugua- 

 gliando a zero, si trova l'equazione differenziale (del terzo or- 

 dine) delle sezioni piane delle superficie. In altro modo questa 

 equazione si può trovare, osservando che le sezioni piane sono 



le curve a torsione nulla. Indicando con s, —, —, -=,.-, a l'arco, 



li 1 I g 



la curvatura, la torsione, la torsione geodetica di una curva, e 

 l'angolo che la normale principale forma con la normale alla 



superficie, si trova (posto r =— -, v = ---, ecc.]: 



, , coso D + 2Z)V + Z)'V* 



curvatura normale = -^ = ^^^^^^,-^-^^, 



, j , . . sen a Va i " \ n \ 



curvatura geodetica = ± — -- = (^ a_ 2 /.',/ + g y^f . ^^' + ar ^ -f 



„_ S22/ \22/_^U2^^_9^12^_Sll/ Sii/ 



a - __ ai i„ ^,_________ ^ ^ 2Z)'.' -f i>V* " 



1 _ 1 ^ rfa d 1 d 



T 7'j ds ' ds yE-\-2Fv'-\-Gv'^ '^« 



(ove -^ indica la derivata rispetto ad u, quando si tenga conto 

 che t', r', v" sono funzioni della n). 



JL _ J_ (i^I> - ^>'^0 + (OD — ED") t/ + {GD' — FD") r^ 



7V ~" VA E-\-2Fr'+Gv'* 



che noi scriveremo anche nella forma : 



'/,""" Va/ ^^ +^ '^ '-(^' + ^^)-lM=Y7vq="or'*"5- 

 Abbiamo una indeterminazione di segno (che si toglie su- 



