798 GUIDO FUBINI 



+ {GD' - FD") r'- ( — 



— VA (D + 2D'v' + D"v'^) X 



X (a.'3 + Pi,'. + ^o' + 6) ( j \1 j + 2 j \2 ( .' + I 2j2 { ,;'2) 4. 



4- {D -f ■ 2Z>'f' + D"v"') ~- ) Va (at;'3 + pi;'^ -j- y^' _[_ e) ( — 



— V'À (ar'3 + py'2 + fr' + e) ^ (Z) + 2D'r' -|- D'V^) 

 ove 



bu òu òv ' 



Non scrivo Pg nella forma più semplice, sia per facilitare 

 il calcolo al lettore evitando soverchie trasformazioni, sia perchè 

 inutile al nostro scopo. 



Concludendo dunque, abbiamo che la nostra forma A vale 



=^ ^ ds^; e dunque trovato il significato metrico di tale 



forma (*). 



§ 6. — Applicazioni e verifiche. 



Si potrebbe ora approfondire lo studio della forma A. Noi. 

 per brevità, lo faremo nel solo caso che le linee u, v siano 

 asintotiche. Questo è infatti il caso più importante, perchè le 

 asintotiche si conservano per trasformazioni proiettive. 



L'espressione 4P3 f/A + rf (|/Ai>)rf«^ -f 2rf (J/'AÌ)') c?y/ rfr -j- 

 -{-d(\^ù.l)")dv^ si riduce nella nostra ipotesi (Z)=Z>"=0) in virtù 

 delle equazioni di Codazzi a 4 I^A Z)' \ {dv^-\-. iduA. Ne 



deduciamo quindi: Una coUineazione non mata i valori di \ (. 1 ., ( 



per l'elemento lineare riferito alle assintoticìie. 



Per completare la ricerca, dovremmo ora studiare il poli- 

 nomio Pp,; preferiamo però ritrovare per altra via il precedente 

 risultato, completandolo poi senz'altro con questo secondo me- 

 todo. 



(*) Che i cot'fricit'iiti A', F, G comi)arisspro in f(»rniii non seuiplico nella 

 nostra A, era prevedibilf* « priori, peri-hè tali eoefficioiiti lianno un siffni- 

 ficato puramente metrico, e non proiettivo. 



