DEFINIZIONE PROIETTIVO-DIFFERENZIALE DI UNA. SUPERFICIE 799 



Osserviamo che per l'illimitata integrabilità del sistema di 

 equazioni 



\ òu^ ~ du ^ ^ dv 

 (1) 



"^ — ^"d^ "^ dv ^ ^ 



devono essere soddisfatte tre equazioni, che a noi è comodo scri- 

 vere nella forma seguente: 



«; = e; 

 (2) ^ Y ^'v' = p- - pt: - (pt): 



( 1 5: = Ti - m: - (ptK , 



ove si è posto: 



(3) ^ = 2a;, — a2 — 2P€, 5 = 2€; ^ e^ — 2aT. 



Esiste dunque una r tale che (log r)L = -^ " ® (^^o ^K = ^ ^ ' 

 Si trova che : 



I . 4 /ÒV òr o òr 



) D 4 /ÒV òr ^ ò» 



\òv^ ' ò« d 



Ora le (1) sono equazioni soddisfatte dalle quattro coordi- 

 nate l,x,ij, z (omogenee) di una superficie S riferita alle assin- 

 totiche M, V ; purché sia 



m «-^11^. p-^ll^ T-^22^ e_^12^. 



Come si sa, se JS" è la curvatura della superficie, deve 

 essere : 



^^^ òu ~~ ^2^ di; — *Mr 



(*) Le a, 3, Y. e hanno ora un significato affatto distinto che nei pre- 

 cedenti paragrafi. Per il contenuto di questo § cfr. Wilczynski, Transactions 

 of the American Mathematical Society (tomi 8, 9, 10),. Memorie sulla 

 Proiective differential geometry of curved surfaces. 



