DEFINIZIONE PKOIETTIVO-DIFFEREXZIALE DI UNA SUPERFICIE 801 



due superficie è necessario e basta che siano uguali in punti 

 corrispondenti ^^ ) o ( > 1 1 ( ^ ^^^ ^** pìinti corrispondenti p. es. 



delle V = le A abbiano valori uguali, in jjunti corrispondenti 

 p. es. delle u = le B abbiano uguali valori. 



L'identità ora enunciata per A o per B lungo la ^• =: 0, o 

 la w = equivale ad ammettere che le asintotiche ?< = e 

 t; = di una superficie sieno proiettivamente identiche alle 

 asintotiche dell'altra. Ciò che si può enunciare anche dicendo : 



Se due superficie in corrispondenza biunivoca che conserva le 

 assintotiche u = cost. e v = cost. si intersecano lungo due assin- 

 totiche, p. es. u = e V = 0, le superficie coincidono se i sim- 

 boli s „ ' , \ A hanno lo stesso valore per le due superficie. 



Basta dimostrare che A ha valori uguali per le due su- 

 perficie lungo la V = 0, e che altrettanto avviene per B lungo 

 la u = 0. 



Basta evidentemente provare che i ( ® ! o ( hanno gli 



stessi valori sulle due superficie lungo la m = e la v = 0. 

 E ciò si dimostra facilmente. Se è data la assintotica u = 0, sono 

 noti per u = i valori di 6r e di G'^. La curvatura della w = 



coincide con la curvatura geodetica — =r \ , [. Poiché G & \ ^[ 



sono noti, anche f/A e quindi anche (/A)'„ = ^ f -[- | sono 



noti per u = 0. Essendo nota la torsione della w = 0, è nota la 



curvatura K della superficie, e quindi anche — '^-^ = — 4 , 



'^ ov I 1 \ 



per u = 0. Cioè per u = sono noti anche , " ? r ^. -^> 



(f/A);, K:. Poiché G^: = 2 [g^ p2^ I 4- F I Y j 1 , se ne deduce che 



anche F resta determinato per u = 0. Essendo così noti G, F, 

 A =^ EG — F2 per u = 0, anche E è noto per u = 0. Per w = 

 sono dunque noti E, F, G, e quindi anche E^, F[., (rj; sono 



pure noti per u = il simbolo ■ =^ i^K — FG'^) e quindi 



anche G'^. Poiché per h = è noto : 



Va ìdu\G ì 1 \j dv\G ì 1 \l\' 



