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tronde necessario) qualche ulteriore limitazione al sistema T, 

 si ottenga u;i risultato più preciso relativamente alle curve A, B. 

 Il teorema da me ottenuto, che costituisce lo scopo principale 

 di questa Nota, è il seguente: 



IV. Se due curve A, B set/ano gruppi eqnicalenti sulle curce 

 di un sistema oo^ {irriducibile) Z, privo di punti multipli varia- 

 bili, esse sono equivalenti ovvero differiscono per curve fondamen- 

 tali di Z. 



3. — Ciò che entra in modo ossenziale nella dimostrazione 

 del criterio IV è una proprietà da me recentemente diinostiata 

 per le corrispondenze unirazionali fra duo curve (l); [)roprietà 

 che si estende facilmente alle superficie e varietà superiori. 

 Spiego brevemente di che si tratta, pel caso delle superficie. 



Fra due superfìcie F, O abbiasi una corrispondenza 0, di 

 indici 1 . V : ai punti di F corrisponderanno dunque su O i gruppi 

 di un' involuzione /; supporremo per semplicità che sia priva 

 di elementi fondamentali. Siano poi A e B due curve di F; 

 A\ B' le loro omologhe su 0. Se le curve A, B sono equivalenti, 

 saranno anche equivalenti, per un notissimo teorema di Severi, 

 le curve A',B'; e anzi noi diremo, con denominazione analoga 

 a quella da me adoperata per le curve, che A', B' sono equi- 

 valenti identicamente {rispetto ad I). 



Ma se viceversa noi supponiamo che siano equivalenti le 

 curve A' , B', potremo solo, per lo stesso teorema di Severi 

 usato poco fa, dedurre l'equivalenza delle curve vj, vB: giacche 

 sono queste le curve omologhe di yl', B' nella corrispondenza 0. 

 Ed effettivamente può benissimo darsi, come si riscontra su 

 esempi, che sia A' ^ B' e non A^ B: ossia che le r-urve A', B' 

 siano equivalenti non identicamente. 



Tuttavia l'esistenza di curve equivalenti non identicamente 

 va riguardata come un caso d'eccezione. Infatti nel § 2 io di- 

 mostro che, analogamente a quanto vale per le curve (M, n° 30), 

 se V involuzione l non è compostila esisteranno curve equivalenti non 

 identicamente allora e solo al/ora che la I sia ridica e priva ili 



fi) Sulle serie nìgehrichr... (" lioiul. ralernic ,, t. XXXVII (1914)]. ^ VII. 

 Deflipnerò in He^fuito qnestiv tni;i Momnrin con M. 



