US CRITERIO D :':quivalenza per le curve, ecc. 847 



coincidenze: sia cioè generata da una trasformazione birazionale 

 ciclica, priva di coincidenze, della superficie F in se (1). 



Propriamente ciò che serve per dimostrare il criterio IV 

 non è il risultato ora enunciato, ma un'altra proprietà un po' 

 pili generale: il lemma III del n'' 9. 



4. — Quanto ho oi- ora esposto permette di costruire su- 

 bito esempi di curve che segano gruppi equivalenti sulle curve 

 di un sistema, senza tuttavia essere equivalenti ne differire per 

 curve fondamentali del sistema. 



Si prendano perciò due superficie F, O, in corrispondenza 

 (Iv) fra loro, e tali che su <t> esistano coppie di curve equi- 

 valenti non identicamente rispetto all'involuzione T indotta da 

 su <t>; siano A\ B' due di tali curve; A, B le curve di F che 

 hanno per omologhe le A' . B'. Si scelga ora su O un sistema 

 ooi, I', d'iudice >> 1, di curve C, la generica delle quali non 

 contenga infinite coppie di punti coniugati nella i; ad esso per 

 la corrisponderà su F un sistema cci, Z. di indice > 1, di 

 curve C: ogni C è bir. identica alla sua omologa. Ora, come 

 le A', B' sulle C. cosi le A, B sulle C segheranno gruppi equi- 

 valenti: eppure le A, B non sono equivalenti, e neppure diffe- 

 riscono per curve fondamentali di X: poiché, dette FJ, F due 

 tali curve, ed E', F' le loro omologhe per la 0, se fosse 

 A t^ = B-\- F, seguirebbe A' 4- E' = B' -\- F' , e quindi, es- 

 sendo A' ^ B\ ne verrebbe E' ^ F' ; ciò che è assurdo, poiché 

 le curve E', F\ fondamentali per Z', sono curve isolate. 



Si noterà peraltro che. com'è facile mostrare (cfr. n° 11), 

 la generica C possiede singolarità variabili. Ciò si vede imme- 

 diatamente se la J è ciclica e priva di coincidenze: poiché al- 

 lora una C variabile, dovendo incontrare in punti variabili la 

 sua curva coniugata nella I, possiede necessariamente coppie 

 variabili di punti (distinti) coniugati nella I. 



Osservazione. — Dalla dimostrazione, che daremo nel ij 3, 

 del criterio IV si possono facilmente ricavare le restrizioni mi- 

 nime da aggiungere all'ipotesi del criterio III per dedurne la 



(1) Ricordo che, per un recente teorema di Godeaux [" Rend. Lincei , 

 voi. XXIIl, marzo 1914], una involuzione non composta, priva di coinc 

 denze, è necessariamente ciclica. 



