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tesi del criterio IV: con che potrebbe aversi un criterio piii 

 generale del IV (1), però meno maneggevole. 



ij 2. — Sulle involuzioni 

 nelle superficie algebriche. 



5. — Cominciamo dal trattare la questione accennata al 

 n" 2. Fra due superfìcie algebriclie F, <t> abbiasi una corrispon- 

 denza 0(lv), che supporremo priva, su entrambe le superfìcie, 

 di elementi f»mdamentali. Questa condizione (messa per evitare 

 inutili complicazioni di forma) non lede la generalità: essa può 

 sempre ritenersi soddisfatta sostituendo, se occorre, alle F, 

 due loro opportune trasformate birazionali. l gruppi di punti 

 di O omologhi dei punti di F formeranno una involuzione 1 di 

 ordine v; i punti di coincidenza della 7 su O (di diramazione 

 per la su /'") si distribuiianno in un numero finito (> 0) di 

 curve (2). 



(1) In quiinto la restrizione che il sistema Z sia privo di singolarità 

 variabili è sovrabbondante. Cfr. il n" 15. 



(2) Non possono esistere punti di coincidenza (di diramazione) isolati; 

 come si vede con im ragionamento analogo a quello fatto da Enkkìuks- 

 SicvERi per il caso v = 2. Cfr. Skveri, Sttlle superfìcie al(jehrivhe che ammet- 

 tono unf/rupporonfinm... [" .Atti del R. Ist. Veneto ,. t. LXVll (1907-08)]. n" 2. 



Espongo in breve la dimostrazione, per comodità del lettore. Diciamo K 

 l'eventuale curva di diramazione su F; D la curva di coincidenza per l'in- 

 voluzione / su O. Prendiamo poi su F. in modo affatto generale, un si- 

 stema lineare | X | , e diciamo | X' \ il suo trasformato su O. La gene- 

 rica X' contiene una involuzione /, di ordine v, birazionalmente identica 

 alla corrispondente A', e le cui coincidenze sono le intersezioni di A'' con D. 

 Se Tt, p sono i generi di i X \, \ X' \ , e u i' il numero delle intersezioni 

 di una A" con D (o di una X con K), si ha per la formula di Zkitthen: 



„ = 2(/» — D — 2v(tt— 1). 



Sia ora, se possibile, 1' un jiunto di diramazione isolato su F\ e 7*'|. /'^ 



le corrispondenti coincidenze isolate dell'involuzione / su O. Quando una A' 

 viene a passare genericamente per F, la i esistente snlla corrispondente X' 

 non può acquistare nuove coinciilenze, iJerohè il genere della X resta eguale 

 a TT, e non può crescere quello della X' : quest'ultima diinque deve venire a 

 passare per ciascuno dei punti P\, P'^... con due o più rami coniugati nel- 

 l'involuzione /; e ciò è assurdo, perchè allora diminuirebbe il suo genere 

 mentre rimarrebbe invariato il numero delle coincidenze della i. 



