UX CRITERIO d'equivalenza PEK LE CURVE, ECC. 849 



Cominciamo col dimostrate il seguente 



Lemma I. — Sìa R U7ia rete di curve X su F ; R/ la rete 

 delle curve omologhe X' su O ; sulla genericff X' la 1 subordinerà 

 dunque una involuzione i. Se l'involuzione i sulla generica X' è 

 composta con una involuzione di ordine e, anche la I risidta com- 

 posta con una involuzione di ordine e. 



La cosa è evidente se sulla generica A'' la i è composta 

 con una sola involuzione j di ordine e: giacché allora, se X' de- 

 scrive un fascio della rete B\ la ; descrive una involuzione ./ 

 con cui la / risulta composta. 



Nel caso poi in cui la i della generica X' è composta si- 

 multaneamente con più involuzioni j.j\j"..' di ordine e. ba- 

 sterà, per dimostrare l'asserto, far vedere come, preso un ge- 

 nerico fascio di lì' . su ciascuna sua curva si possa determinare 

 razionalmente una delle dette involuzioni. 



Ed infatti, si fissi una generica X', e su questa un gene- 

 rico gruppo G della i; G si decompone in — gruppi G■^, Go ... 



della j: in— gruppi G'i, G'2 ... della ;' ; etc. : e i gruppi 



Gì, G2 ■■■ G'i, G'2 ... son tutti distinti fra loro. Considerando 

 allora il fascio delle X' passanti per G, ciascuna delle dette 



decomposizioni di G in — gi'uppi fissa razionalmente su una 



curva variabile di tal fascio una delle involuzioni^;,/, ;'" ... . 

 e. v. d. 



6. — Orbene adesso faremo vedere che 



Teorema L — Se esistono su. <P due curve A', B' equivalenti 

 non identicamente, e la involuzione I non è composta, essa è ciclica 

 e priva di coincidenze. 



Si dicano infatti^, B le curve di F aventi per omologhe 

 le A', B' : e si scelga su F una rete R priva di 30' curve spez- 

 zate. Un generico fascio S di tale rete sarà dotato di punti 

 base e privo di cui-ve spezzate (e non avrà come fondamentale 

 alcuna componente della A, uè della B. ne della eventuale 

 curva di diramazione di 0). A una curva variabile X di S cor- 

 risponde su «t» una curva X\ variabile in un fascio S' e in cor- 

 rispondenza (vi) con A': e mentre i gruppi segati su X da A, B 

 non sono equivalenti (altrimenti sarebbe A ^ B). i loro gruppi 



