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omologhi nella B, essendo segati su A'' dalle curve A', B' . sono 

 equivalenti. D'altronde essendo, per ipotesi, la involuzione 1 

 non composta, tale risulta anche, pel Lemma I, l'involuzione t 

 subordinata su X' dalla /: la i allora, per un mio teorema già 

 ricordato, sarà ciclica e priva di coincidenze; e tale quindi ri- 

 sulterà ancho la / (1); e. v. d. 



7. — La precedente proprietà si inverte facilmente nel se- 

 guente modo: 



Teorema II. — Se l'involuzione 1 è ciclica e 'priva di coin- 

 cidenze [anche composta), esistono su O coppie di curve equivalenti 

 non identicamente. 



Si può infatti prenderò su Fun sistema lineare completo \A\ 

 il cui sistema trasformato \A'\ non sia completo (2). Detto al- 

 lora A'\ il sistema completo cui appartiene M'|, il sistema j^'l 

 sarà mutato in se da ogni ti-asformazione generatrice di I: precisa- 

 mente una tal trasformazione, dicasi 7', induce in |yl'| una omografia 

 ciclica non identica. Quindi in \A'\ dovrà esistere, oltre !^'|, 



(1) Poiché, con argomentazione analoga a quella fatta in fine del n" 5, 

 si può fisjsare razionalmente, su una A'' variabile di .s"', una trasformazione 

 generatrice della i. 



(2) Si prenda su F un sistema lineare completo \ M \ , tale che i suoi 

 multipli, almeno da un certo punto in poi, sieno regolari: ad e.s., secondo 

 Sevkki, l'aggiunto ad una curva atta ad individuare un .sistema continuo 

 diverso da un fascio irrazionale. Detti allora nx,TT> il grado e il genere 

 del sistema (completo) | X,l/ | , la dimensione 7\ di | \M \ . per X abbastanza 

 alto. sMiii data da 



l\= n. — TT^ -\- Fa-¥\, 



'•■•seiulo /u il genere aritmetico ili F. 11 sistema trasformato | XA/' | di 

 I \M I avrà il grado M>' = vn>, e il genere tt/ = vit> -- v -f- 1 (poiché la 

 sua curva generica possiede una involuzione d'ordine v e genero n,, priva 

 di coincidenze); per la dimensione r>' del sistema completo cui esso appar- 

 tiene avremo 



r 



/ è «x' - IT', + P,/ + 1 = V (,!,, - ir, ) + V ^- Fa', 



essendo l''a il genero aritmetico di <t>. Foiehl', crescendo X, la ditl'erenza 

 Hy — TT^ cresce all'inBnito, finirà certo coH'essere r>,' > ;•> : si può dunque 

 premiere come sistema | A \ del testo il sistema | X.V | con X sufficien- 

 temente grande. 



