UN CKITERIO d'equivalenza PER LE CURVE, ECC. 851 



almeno un altro sistema lineare di curve mutate in se dalla T: 

 una qualunque di questo ultime curve e una qualunque curva 

 di \A'\ risultano allora equivalenti non identicamente; e. v. d. 



8. — Dal teorema I risulta subito una condizione neces- 

 saria (ma non sufficiente) perchè esistano su O curve equiva- 

 lenti non identicamente, nel caso in cui l'involuzione I sia com- 

 posta. Ed infatti in tal caso si potrà prendere un certo numero 

 di superficie F^, F^. ..., Fj^^ in guisa che la corrispondenza 0(lv) 

 intercedente fra F, O lisulti prodotto di A: -j- 1 corrispondenze 

 unirazionali Oj , 62, .••, 0;;, 0fe+i (prive sempre di elementi fon- 

 damentali), intercedenti rispettivamente fra le coppie di super- 

 ficie [FF^), (Fi F2) ..., (F,_i F,), (F,0), e che l'involuzione 7, 

 indotta dalla 9, (0^ = 1, 2, ..., A; + 1) su F, (su O, se s = A: -[- 1) 

 sia non composta (1). Queste ultime involuzioni anzi le chiame- 

 remo le involuzioni componenti della data involuzione /. 



Orbene si vede immediatamente che : 



Lemma II. — Se su esistono coppie di curve equivalenti 

 non identicamente rispetto a I. una almeno delle involuzioni com- 

 ponenti di I dovrà essere ciclica, e priva di coincidenze. 



Questa proposizione vale anche per le curve; il fatto ch'essa 

 non è invertibile risulta, per le curve, dalle considerazioni fatte 

 nel n° 32 della mia memoria M, e potrebbe facilmente stabi- 

 lirsi, con argomentazioni analoghe, per le superfìcie. 



9. — ^ È essenziale pel seguito quest'altra proprietà. 



Si decomponga, come al n° 8, la corrispondenza tra F, O 

 nel prodotto delle 61, 63, .... 0^-^.1, intercedenti risp. tra le coppie 

 di superficie (F Fi), (Fi Fg). ..., (F/^O) [se / non è composta, 

 sarà A-= 1 e Fi = O]. 



Si prenda poi su F una curva Xq variabile in una rete i?o; 

 a essa, per la 61, corrisponderà su F'i una curva Xi variabile 

 in una rete B^: alla Xi, per la O2, una curva X^ variabile in 



(1) Tal decomposizione può anche essere effettuabile in piìi modi rf*- 

 versi (rispetto alle trasf. l)irazionali). In tal caso intendiamo riferirci a una, 

 fissata ad arbitrio, di tali decomposizioni. 



