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una rete R^ su b\; ...; alla A\, per la h^^,, una curva X^^x 

 variabile in una rete Rk.\ su 0. 



Orbene, si vede facilmente che 



Lemma III. — -S^^ rispetto all'involuzione i subordinata dalla 1 

 salla generica X*+i esistono (/ruppi eqtiiralenti non identicamente, 

 qualcuna I, dalle involuzioni Ii,l2. -..,111+1 componenti della 1 

 deve esser ridica, e avere come curva di coincidenza una curva 

 fondamentale per la rete Rj . 



Infatti, pel Lkmma I. lo involuzioni /'i, /^j, ..., i\+i , subordi- 

 nate dalle /i, I2, ..., Ihy\ risp. sulle curve Xy, X^ Xk,i sono 



non composte, talché esse sono le componenti della i\ e poiché 

 su Xfc+i esistono, per ipotesi, gruppi equivalenti non identica- 

 mente rispetto a i, qualcnna delle involuzioni ^\, j',, •••, H^\i e 

 sia p. es. la /,, deve essei'e ciclica e priva di coincidenze. Fa- 

 cendo variare la X nella rete E,, si vede che 7, è ciclica, e 

 la sua (eventuale) curva di coincidenza non può incontrare X^ 

 in punti variabili, poiché questi sarebbei o coincidenze della in- 

 voluzione Z^; e. V, d. 



OssEKVAZiON'i. — 1) Applicando a una curva fondamentale 

 della rete R,, la 6/.^.i [h = 0, I, ..., k), ovvero la 6y, {h= 1. 2, ..., 

 A- -!- 1), si ha una curva fondamentale della 7?/,+i, ovvero 

 della Rh-i . 



2) II Lemma Ili può considerarsi come un'estensione del 

 Lemma II. Basta osservare che se esistono curve equivalenti 

 non identicamente rispetto a /, scelta la 7?y priva di oc' curve 

 spezzate (talché, per l'osserv. precedente, ne saran prive anche 

 le /?! . 7^2 Rkr\)i sulla generica A\^, esistono gruppi equiva- 

 lenti non i<lenticamente rispetto a i (per una considerazione 

 fatta al n" 6); si deduce allora che qualcuna delle /j, l^, ..., /k^, 

 deve essere ciclica e priva di coincidenze. 



§ 3. — Dimostrazione del criterio IV. 



10. l'assianio adesso alla dimostrazione d«^l criterio IV. 



Sopra una superficie F abbiasi un sistema x^ (irriduci- 

 bile) I, di (Mirve r* (^enci'iilintMito ii'ridiicjliili) : sia v O- I ) il 

 H»io indice. 



