UN CRITERIO d'equivalenza PER LE CURVE, ECC. 853 



Rappresentando le curve di Z coi punti di una curva f, 

 tra F e r resta stabilita una corrispondenza tale che a ogni 

 punto di r corrisponde su F una curva C\ mentre al generico 

 punto di F corrisponde su f un gruppo di v punti, iniagini 

 delle V curve C passanti per quel punto. 



Se consideriamo allora la superficie <t> che rappresenta, 

 senza eccezione, le coppie di punti omologhi di F, f, vediamo 

 che fi'a F, <t> intercede una corrispondenza 0{lv): tal corrispon- 

 denza indurrà su O una involuzione I di ordine v. Si notino 

 ora queste due proprietà: 



a) Mentre un punto di F descrive una curva C, uno dei 

 suoi omologhi in descrive una curva 0' bir. identica a 

 quella C: le curve o" cosi ottenute su O formano un fascio Z' 

 bir. identico a Z. 



h) I coniugati in / di un punto variabile sulla generica C 

 descrivono una curva che non contiene altre curve C (altri- 

 menti a Z' la farebbe corrispondere un sistema di indice <Cv). 



Supporremo al solito di avere (occorrendo) trasformate le 

 F, in guisa che la corrispondenza sia priva, su entrambe 

 le superficie, di elementi fondamentali (e quindi Z sarà privo 

 di punti base). E chiaro che dalla validità del criterio IV dimo- 

 strato in questa ipotesi, si ricava subito la validità in gene- 

 rale del criterio stesso. 



11. — Decomponiamo, come al \\° 8, la corrispondenza 

 tra F, O nel prodotto delle corrispondenze O^, 02, ..., O^+i, inter- 

 cedenti risp. fra le coppie di superficie (FFi), [FiF^], ..., (Ffe^) 

 [se / non è composta, sarà A; = 1 e Fi = O], 



Sia poi E l'insieme delle eventuali curve fondamentali 

 irriducibili del sistema Z; ad £" corrisponderà, per la Q^, una 

 curva Ei di Fi; a questa, per la 02, una curva E2 di F2; ...; 

 a Eh, per la O/i+i, una curva Ek+i di O. 



Alle curve C del fascio Z' corri.spondono, per la 6^+1, 

 curve Ck di Fk; a queste, per la 6^, curve 6V_i di F^-^; ...; 

 alle Ci, per la 0i. le curve C del sistema Z su F. 



Si potrebbero facilmente calcolare gli indici dei sistemi co- 

 stituiti dalle C'fe, Ck-i, ..., Ci; a noi basta osservare che, per la 

 proprietà b) del n° 10, tali indici sono superiori a 1. 



Orbene, si vede facilmente che 



