854 RUGGIERO TORELLI 



l.KMM.v i\ . — 'SV />('/• qualciaia delle involuzioni Ij. L, ..., l^^j 

 i-oinponenti della I, e sia p. es. la I,., avviene che la rurva di 

 loincidenza mancai, ovvero le sue componenli irriducibili sono con- 

 tenute in E,., le curve C posseggono punti multipli variabili. 



liit'utti (eoriveneiido per un momento di scrivere Fk+i, C\j,i 

 invece di O, C) su Fr la generica (> non contiene intinite coppie 

 di punti coniugati in /, (per la proprietà a) del n" 10), e non 

 incontra in punti variabili la curva Er . Essa d'altronde deve 

 incontrare in un gruppo di punti variabili la sua curva coniu- 

 gata in /, . : giacche, se ciò non fosse, le 6V formeiebbero un 

 fascio, il che accado, come s'è dianzi detto, solo per r = k -\- ì ; 

 e le Inro coniugate sarebbeio fondajnentali per tal fascio: ciò 

 che è escluso dalla proprietà b) del n" lo. 



Adunque una C,. variabile possiede coppie variabili di punti 

 distinti coniugati in /^; ne segue subito che una (' variabile 

 su F possiede singolarità variabili. 



12. — Dnl Lemma ora dimostrato e dal III segue questa 

 proprietà, fondamentale per hi dimostrazione del criterio IV: 



Lemma V. — Se le C sono prive di punti multipli variabili, 

 presa su F una rete di curve X le cui eventuali curve fondamen- 

 tali siano fondamentali per I, la curva X' omologa in della 

 generica X non contiene gruppi equivalenti non identicamente ri- 

 spetto all'involuzione su essa subordinata dalla I. Jn particolare 

 su (t> non esistono curve equivalenti non identicamente rispetto a l. 



Osservazioni. — 1) Avverto che per la dimostrazione del 

 criterio IV si potrebbero omettere i Teor. I, II e il Lemm.\ II. 

 2) Dalle considerazioni che servono a dimostrare il 

 Lemma MI lisulta anche che: 



Allorquando l'involuzione I non è composta^ si jniò ^je/ Lemma V, 

 all'ipotesi che le C non abbiano punti midtipli variabili sostituire 

 l'altra, piit larga, che su F esista una curva di diramazione per 

 la l'he non sia fondamentale per Z. 



13. - Supponiamo ora (-he esistano su /•' due curve A, li, 

 seganti gruppi equivalenti sulla generica C. Allora sulla gene- 

 rica C resta individuata, a mono di un fattore di proporziona- 

 lità, una inn/Àono razionale g{x) avente corno zeri e poli risp. 



