UN CRITERIO d'equivalenza PER LE CURVE, ECC. 855 



i punti dei gruppi {AC\, (BC). Possiamo, con Severi (1), deter- 

 minare razionalmente su ogni C il detto fattore, prendendo una 

 curva D su F, e considerando su ogni C la funzione 



Y{x)= '^^^ 



y (a^i) + y (a?2) + ... + 2/ {xj ' 



dove .^1, .^2, ..., .r„ sono i punti comuni a D e alla conside- 

 lata C. 



Con ciò adunque veniamo a fissare su ogni C una funzione 

 razionale Y (x) di cui {AC), {BC) sono risp. i gruppi degli zeri 

 -e dei poli. 



E per conseguenza resterà fissata su ogni C una funzione 

 razionale Y{x'}, di cui i gruppi di zeri e di poli sono rispetti- 

 vamente i gruppi {A' C), {B' C): essendo A\ B' le omologhe 

 delle curve A, B nella coriispondenza (2). 



Le Y{x') saranno subordinate sulle C da una funzione ra- 

 zionale cp del punto scorrente su O; e le curve A' , B' saranno 

 curve di zeri. risp. di poli, per (p. 



Mediante la corrispondenza che trasforma in F, la 

 funzione cp si muta in una funzione algebrica /" a v (eventual- 

 mente meno (3)) valori del punto scorrente su F. Le curve A, B 

 sono curve luogo di zeri, risp. di poli, per f. e le eventuali 

 ulteriori curve luogo di zeri e poli per f dovranno essere fon- 

 damentali per Z. Perciò se indichiamo con E', F' le ulteriori 

 curve di zeri, risp. di poli, della funzione razionale qp. esse sa- 



(1) Alcune relazioni d'equivale ma... (citata), n° 4. Ivi sono anche con- 

 siderate le funzioni qp, f, di cui tr.i poco si parlerà nel testo. 



(2) Ciò anche se qualche componente ài A o B tocca una C variabile 

 in punti variabili. Basta osservare che tal componente è curva di dirama- 

 zione per (efr. n" 15). quindi la sua omologa possiede una componente 

 doppia (almeno). 



(3) Precisamente: se la curva di livello di qp uscente da un generico 



V . . 



punto P di O pissa per e — I dei coniugati di P in /. sarà — l'indie*^ di 



polidromia di f. 



In realtà, come risulta dal n" 14. la f è razionale (supposte, benniteso, 

 le C prive di singolarità variabili). 



Atti lielld li. .-Lccuàemia — Voi. XLIX. bl 



