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ranno le omologhe in (o inirti delle omologhe in 0(1)) di 

 curve K, F. fondamentali per X. 



14. — Noi dimosti eremo adesso che, se le C sono prive di 

 fiiufolarità varidbili, il fascio delle curve di livello della cp, 

 fascio che contiene totalmente le curve A' -f E\ B' -j- ^', © 

 composto coU'involuzione /; ossia è il trasformato in di un 

 fascio di F; e da ciò, com'è cliiaro. risulterà senz'altro il cri- 

 terio IV (2). 



Prendiamo perciò su /'' una rete li di curve X per la quale 

 le curve fondamentali di I, e solo esse, siano fondamentali, e 

 anzi abbiamo zero intersezioni colla (' generica: tale è p. es. 

 una generica rete del sistema lineare individuato da un gruppo 

 di curve C (poiché I è privo di punti l)ase: cfr. n° 10, fine). 

 Alla rete R corrisponderà su O una rete fi' di curve A": e pel 

 Lemma V non esistono sulla generica X' coppie di gruppi equi- 

 valenti non identicamente l'ispetto allinvoluzione i subordinata 

 da / su essa A'. 



Consideriamo allora sulla generica X' {che non incontra le 

 curve E', F) i gruppi (.4' A"), (/^' A'): essi saranno equivalenti 

 identicamente i-ispetto a i; epperò la //^ che li congiunye. la 

 quale è segata su .Y' dal fascio delle curve di livello della (p, 

 è composta colla involuzione i. 



Ne segue, facendo variare la X' entro R', che le curve di 

 livello della qp sono composte colla involuzione /: e. v. d. 



Risulta così completamente dimostrato il nostro criteiio IV. 



15. - Osservazione. — Nel caso in cui la generica ('pos- 

 segga r punti doppi variabili (o singolarità equivalenti) il gruppo 

 «Ielle intersezioni di una C e della sua intinitamente vicina 

 (gruppo caratteristico) consta delle /• coppie di punti costituite 

 dai detti punti doppi, e di un certo gruppo k (che, se r><*r 



(1) Qi'ii'stii evtMitiialifà. iiiimiis-;ibil<' n priori, viene fsilnsa dalle eoii- 

 siderazioni del n" 14, quando I e privo di sin^'olaritii variabili. 



(2) Se I è privo di cui-fe fondamentali, talché non esistono le E', F', 

 dalla relazione A' "= B' si può subito dedurre A^ B quando le C siano 

 prive di punti multipli variabili: poiché allora non esistono curvo equi- 

 valenti non identicamente ris|ietto a ì ^i.kmma V). 



