DN ClilTEKIO d'equivalenza PER LE CUKVE, ECC. 857 



potrebbe anche mancare (1)). La curva K descritta da que- 

 st' ultimo gruppo è curva di diramazione per la corrispon- 

 denza (2). 



Orbene: se l'involuzione I non è composta (p. es. se v è primo) 

 l'esistenza di K è sufficiente ad assicurare che il fascio delle curve 

 di livello di cp è composto colla I. Basta, per veder ciò, ripetere 

 la dimostrazione del n° 14; applicando, invece che il Lemma V, 

 rOssERv. 2) del n° 12, e tenendo presente che K non è certo 

 fondamentale per Z. 



Segue che : Supposto v primo, quand'anche le C posseggano 

 singolarità variabili, l'esistenza di K basta per affermare che 

 le A, B sono equivalenti o differiscono per curve fondamen- 

 tali di T. 



Quest'ultima affermazione si controlla direttamente, in modo 

 semplicissino, nel caso v =: 2. In tal caso infatti, supposto dap- 

 prima (oltre il fatto dell'esistenza di K) che qualcuna delle 

 componenti irriducibili di K non faccia parte né di A ne di B, 

 si osservi che la funzione f non può essere a due valori: giacche, 

 se fosse, subordinerebbe sulla generica C una funzione spezzata 

 in due funzioni razionali aventi, com'è facile vedere, lo stesso 

 ordine (3); ma tali funzioni avrebbero lo stesso gruppo (AC) di 

 zeri, Io stesso gruppo (BC) di poli, e inoltre in qualche punto 

 (semplice per C) del grupfio caratteristico assumerebbero uno 

 stesso valore non nullo ne infinito: esse dunque coinciderebbero. 

 Ne viene la razionalità di f, e quindi per le A, B la tesi del 

 criterio IV. Se poi ogni componente irriducibile di K e conte- 

 nuta in A in B, presa una curva M in guisa che i sistemi 

 lineari \A-\-M\, ' B -\- MI siano privi di parti fisse, si stabili- 

 rebbe dapprima il risultato per due curve estratte generica- 



(1) Si pensi p. es. al sistema delle sezioni di una superficie del 4° or- 

 dine dello spazio ordinario coi suoi piani bitangenti. 



(2) La curva K, la curva luogo dei punti doppi delle C (contata due 

 volte), ed eventualmente altre curve contenute parzialmente o totalmente 

 in Z, costituiscono l'inviluppo di Z. 



(•3) Basta osservare che su O le funzioni razionali subordinate da <p sulla 



generica C e sulla curva C' coniugata di C' nell'involuzione (di ordine 2) /, 

 hanno lo stesso ordine: i loro gruppi di zeri sono infatti rispettivamente 



(A'C), 'A'C'), epperò son formati da egual numero di punti. 



