SULLA RISOLUZIONE DI EQUAZIONI VETTORIALI, ECC. 995 



8. — Daremo qui due teoremi relativi ai numeri funzioni 

 omogenee quadratiche di due vettori. 



Teor. 1°. — Se i punti M, N variano, indipendentemente 

 uno dall'altro, in un campo a tre dimensioni, e è un punto 

 fìsso, la piti generale funzione numerica omogenea quadratica dei 

 vettori M—O, N—0 è: 



(iW— 0)Xa(i>i-0) + 2(Ji-0)XT(iV^-0)f(A— 0)X3(A-0), 



ove a e ^ sono diiatazioni, e f è un'omografìa generale. 



DiM. — Qualunque sia il numero T, funzione omogenea 

 quadratica di M — e N — 0, dal teorema di Eulero si ha: 



<1) 2r-grad,, TX (il^- 0) + grad^rX (iV- 0); 



inoltre i gradienti di T rispetto ad Me JS' devono essere fun- 

 zioni lineari di M — e N — 0; esisteranno quindi le omo- 

 grafie a, Pj, T, ^ tali che: 



( gradu r = a (M - 0) + T (N - 0) 

 ^ ^ ì grad,v r= ò {M— 0) + (3 (iV— 0). 



Dalle (1) e (2) si ha subito: 



<3) 2 T= [M— 0) X a {M- 0) + [M— 0) X (t 4- Kò) {N- 0) + 



-f(i^-0)XP(i^-0); 



e operando in (3) con grad.u e grady, si ha: 



2 grad,, r= (a + Ka) (if- 0) + (t -f Kò) [N — 0) , 

 2 grad.v T^[b^ Kt) [M— 0) + (P + Kp) [N - 0) , 



che, confrontate con le (2). danno : 



a + Ka = 2a, t + Kò = 2t, ò4-Kf = 2b, P4-Ivp = 2p, 



^ssia : 



a = Ka , b = Kt , P = K8 . 



Queste, per la (3), ricordando la [3] di A. V. G., I, n. 9, 

 dimostrano il teorema. 



