SULLA RISOLUZIONE DI EQUAZIONI VETTORIALI, ECC. 1001 



ammette soluzione, rispetto alla omografia E, solo quando: 



(II) Kaa = , 



e, in tale ipotesi, la soluzione generale è: 



(III) ^ = — a/\ai^E{u,a), 



essendo u un vettore arbitrario. 



DiM. — Qualunque sia il vettore oc, si ha dalla (I) : 



a /\ljo = ax , 

 e quindi : 



a 'X^ax = , 



cioè (A.V. G., I, n. 15, [1]): 



X X Kaa 3= , 



che, valendo per x arbitrario, dà la (II), che è quindi condizione 

 necessaria. 



Operando, a sinistra, con a A sulla (I), si ha : 



R{a,a)i — E = a/\a , 

 cioè : 



H (KEa, a) — E = a/\a , 

 da cui : 

 (2) E = — « A« + H (HEa, a). 



Posto K^a = u \SL (2) coincide con la (III), cioè la solu- 

 zione generale della (I) ha la forma (III). Ma occorre provare 

 che nella (III) il vettore u può essere arbitrario, contrariamente 

 a quanto apparisce formalmente dalla (2). Invero, operando 

 con a A nei due membri della (III), e tenendo conto della (II) 

 si ha, qualunque sia u : 



a/\E = — ) H (a, r«) — 1 ( a + H {u, a f\a) = 

 = — H (Ka«, a) -{- a = a. 



Si osservi che dare ad arbitrio ?f equivale a dare ad ar- 

 bitrio KEa, perchè anche dalla (III) si ha identicamente KEa = ìi. 



