1006 ANGELO PENSA. 



§ IV. 

 Sulla condizione K' (a, p) := 0. 



16. Teor. 1°. — Se a e ^ sono omografie, una almeno delle 

 quali è invertibile {ad es. I3P H= 0), e per .r vettore arbitrario si ha: 



(a.r) A P^' = , 



allora esiste un numero reale m tale che 



a = m^. 



DiM. — Dall'ipotesi segue che per jr arbitrario si ha : 



a.yr' = m^j- , 



ove m è un nnmeio che può essere funzione del vettore x. 

 Se ft è invertibile, opero con P~^ a sinistra, sui due membri di 

 quest'ultima uguaglianza, ed ho : 



p-ia,r := m.r. 



Dunque l'omografia p~'a trasforma ogni vettore in un vet- 

 tore avente la stessa direzione. Perciò (A. V. Gr., I, pag. 14) essa 

 deve essere un numero, cioè : 



P~^a = m , da cui a =^ wp , 



con m indipendente da Jt'. e. v. d. 



Teor. 2°. — Se a è un'omof/rofia, e se per .r, y vettori ar- 

 bitrarii si ha: 



a? X a (.r ^i/) = , 



allora a è un numero. 



Infatti, pel teorema di commutazione (A. V. G., I, n. 15, [1])^ 

 dalla ipotesi segue : 



osbia : 



