ALCUNE APPLICAZIONI DELLE PORMOLE DI FRENET 1139' 



La seconda delle (11) diventa allora: 



^ = 7ndq) , 



V 1 + y"' 

 da cui integrando, e includendo in qp la costante d'integrazione r 



log (y' + V 1 + y'^) — w<P . 



Di qui risulta infine: 



(12) y' = senh (wcp) e quindi !/ = J senh (mqp) ds. 



5. — La (12) ci permette di calcolare il raggio di curva- 

 tura Pi, e quello di torsione Tj della curva descritta da Pi. Si ha 

 infatti : 



y' =: senh (wcp) ; y" :=. — cosh (mcp) ; 



y'" = — — j- cosh (mqp) -f- -^ senh (mqp) 

 e per le (8) e (9) : 



,^<-,. cosh'^(m(p) C08h^(m(p) 



^^^^ P^^ VTT^^ P' '^ ^ " senh (,n(p) P" 



E per la curva descritta da P^, cioè per la sviluppata piana 

 della curva descritta da Pi, si ha: 



(14) P2 = P. 



Da questa e dalla (13) risulta subito che il rapporto fra i due 

 raggi di curvatura Pi e P2 è costante: 



Pi yn 



m* 



= — cosG (Teor. di Catalan). 



P2 Vl + 

 Per questa sviluppata piana si ha ancora (cfr. n. 2) 



(1 5) Sg = J V 1 -|- senh^ (mcp) da = J cosh (m(p) ds. 



