ALCUNE APPLICAZIONI DELLE FORMOLE DI FRENET 1151 



cioè : 



m' = , da cui u = cost. 



Quindi : La rigata descritta da li è sviluppabile solo quando 

 la curva Q è una concoide di P rispetto a P (cfr. n. 17). In tal 

 caso K è il centro della sfera osculatrice in P. 



20. — Da quanto precede si ha che : 



La tangente in Q è la perpendicolare ad HQ, uscente da Q 

 e giacente nel piano osculatore in P alla curva descritta da questo 

 punto. 



Questa proprietà si può anche dimostrare cosi : 



Si è trovato ()' = (1 + ii') t -{-— n; ciò prova che la tan- 

 gente in Q sta nel piano osculatore in P. 



Che sia perpendicolare ad HQ si vede osservando che : 



{H-Q}XQ' = ÌP-^P{l+u')n-P-ut\X]{^+u')t-}-^t\ = 



= ]-ut + p{i + u') n ' X : (1 -f w')«+ 7 ^M = 



= — n{ì -f u') + « (1 + u') = (15). e. d. d. 



Segue che : Tutte le concoidi Qi di Q risjyetto a P hanno le 

 tangenti nel piano osculatore in P e sono normali alle rette QiH. 



21. — Per u = — s, la curva Q è una evolvente della 

 curva P, ed i punti H e K coincidono con P. 



Se P descrive una linea piana sussistono le proprietà pre- 

 cedenti, e HQ e la normale in Q. 



(*^) Si può dimostrare direttamente questa seconda parte del teorema 

 come segue. Nel piano osculatore in P sia i l'operatore tale che it^^n. 

 Allora : 



(?' = — 1 p (l-f m') « + WH ( . 



ìq' = ± j p (1 + „') n - ut \^ ^ ] H - P- {Q - P)\ = j ) H - Q [' 



Operando con i 



Q'= ^i{Q — H). e. dd. 



