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x 
2 MAURO PICONE 
1. Posizione della questione. — Nell'intervallo finito (fo, 7) 
dell'asse #, sia definita la funzione «= @(?) che supporremo 
sempre limitata da due numeri dell’intervallo finito (xo, X) 
dell'asse x. 
Si sa che: Se f(x) è una funzione definita nell'intervallo 
(xo, X) e ivì continua, e @(t) possiede in (to, T) una derivata 
unica ®' (t), continua, sussiste l’equaglianza : 
; 
(1) [o f@de=| fp Mat, 
ove t è un qualunque valore in (to, T). 
La formola (1) traduce la regola del cambiamento della 
variabile di integrazione. Ponendoci nel campo delle funzioni 
finite e misurabili, ci domandiamo, sotto quali condizioni per le 
funzioni f(x) e @(?) risulta ancora valida la formola? 
Ponendo, nella (1), f(x) = 1, essa dà: 
() oM—-9M)=| 9 Mar. 
Si ha dunque, in virtù del teorema Lebesgue-Vitali (1): 
Condizione necessaria affinchè, qualunque sia la funzione finita 
e misurabile f(x), valga la formola (1). del cambiamento della va- 
riabile di integrazione, è che la funzione @(t) sia in (to, T) asso- 
lutamente continua. 
Supposta pertanto @(?) assolutamente continua in (to, 7), 
essa possiede quasi ovunque in (to, 7) una derivata unica e 
finita ©'(#). Sia H quell'insieme di misura nulla contenuto in 
(to, T), nei punti del quale la @(?) non possiede una derivata 
unica e finita. Le funzioni 
flo (6)]o A), 0 
che compaiono nelle formole (1) e (2) sono definite per essere 
f[9(t)] finita nell'insieme CH, complementare di H rispetto al- 
l'intervallo (to, T). Sottintenderemo sempre di escludere, dall’in- 
tervallo (to, T), î punti che appartengono ad H. Indicando con 
(4) Cfr., per esempio, pe La VaLLée Poussin, libro citato a pag. 1, n° 74. 
e. 
