SUL CAMBIAMENTO DELLA VARIABILE DI INTEGRAZIONE, ECC. 33 
A(t) uno determinato dei quattro numeri derivati della fun- 
zione @(t), le formole (1) e (2) si scrivono anche: 
(3) [o f@d=[. fo MAMA, 
(4) PM)—-9(=| AMdr, 
e la nostra questione può così essere formulata: 
Supposta la funzione © (t) assolutamente continua in (to, T), 
stabilire delle condizioni per la funzione misurabile e finita £(x), 
sotto le quali sia assicurata la validità della formola (3), ove A (t) 
designa uno determinato dei quattro numeri derivati di ©® (t). 
2. Funzioni di funzioni. — Premettiamo un breve studio 
della questione seguente: 
Se f{x) è misurabile in (xo, X) e @(t) în (to, T), che cosa si 
può dire sulla misurabilità della funzione £[@(t)] in (to, T)? 
Per questo studio ricorreremo dapprima alla identità, sta- 
bilita dal Lebesgue (!), delle funzioni misurabili (B) (misurabili 
al modo di Borel) con le funzioni di Baire. 
Si sa intanto che se f(x) in (x0, X) e @(t) in (fo, 7) sono 
continue, la funzione f[®(t)] è continua in (fo, 7). Se, cioè, f(2) 
in (20, X) e ®(t) in (t,, 7) sono misurabili (B) e di classe zero, 
f[@(#)] è misurabile (B) e di classe zero in (ft, 7). 
Dico che se f(x) è continua e @(t) misurabile (8) e di 
classe uno, f[@(t)] è misurabile (B) e al più di classe uno. Es- 
sendo infatti @(t) di classe uno, essa è la funzione limite di 
una certa successione ®;(#), ®»(t),... di funzioni continue (di 
classe zero), limitate ai limiti inferiore e superiore di @ (t) (?), 
f[@(#)] è dunque la funzione limite della successione di funzioni 
continue f[®} (t)], 7[®:()],..., e pertanto essa è al più di classe 
uno. 
(4) Leseseue, Sur les fonetions représentables analytiquement (“ Journal 
de Mathématique ,, 1905). 
(*) Seguendo una locuzione introdotta dal de la Vallée Poussin, diremo 
che una funzione v(#) è ottenuta dalla funzione «(#) limitandola ai nu- 
meri a e d (a<b), se si pone v(f)=wu(#), quando « ha un valore com- 
preso nell’intervallo (a, 5), v(f)=a, quando è u<a, v(t#)=d, quando 
è u>Db. 
Atti della R. Accademia — Vol. LV. 
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