34 MAURO PICONE 
Col metodo di dimostrazione per induzione completa (!) si 
stabilirà dunque che: 
Se f(x) è continua e @(t) misurabile (5) di classe (finita o 
transfinita) a. f[®(t)] è misurabile (8) e al più di classe a. 
Con ragionamento del tutto analogo a quello precedente, 
si vede che se f(x) è misurabile (B) e di classe uno e @ (t) mi- 
surabile (B) di classe a, f[g(1) ] è misurabile (5) e al più di 
classe a + 1, e si riesce infine, per induzione, al teorema: 
Se f(x) in (xo, X) e ®(t) în (to, T) sono misurabili (B), 
f[@(t)] è misurabile (B) in (to, T). Se f(x) è di classe Be @(t) 
di classe a, la funzione f[p(t)] è al più di classe a + B (2). 
Sia, di nuovo, f(x) continua in (20, X). Dividiamo l'inter- 
vallo (xo, X) in n parti eguali mediante i punti di divisione 
%os Li; Cas - + + 3 Cni, Ca = X. Definiamo cla! funzione, (2 Xipor 
nendo: f.,.(x)=f(x) per x =71<%; f©0=f@)eaee 
<<, l,.fa(o) = f(c.-.) pera Sten 
lim f. (x) =f (2). 
Sia ora @(t) una funzione misurabile in (fo, 7). Dico che 
f.[®(£)] è pur essa misurabile in (f,, 7). Ed invero l’insieme 
dei punti di (f, 7) per cui f, [@(t)] >A, supposto che 
f(x.), f(x.),... siano quelli fra- gli n numeri fo) eee 
f(©,-:) che superano A, è formato dalla somma dei seguenti 
insiemi misurabili, in numero finito: l’insieme dei punti di 
(to, T) per cui x,<@(1) <%,,;, l'insieme dei punti di (fo, 7) 
per cui x; <@(9)} < x..1, -... La funzione f[®@(t)] è il limite 
per n = 00 della successione di funzioni misurabili f,[®@(%)], 
f:[®(t)], ..., ne segue che f[@(t)] è misurabile. 
Se dunque f(x) è continua e @(#) è misurabile, f[@(t)] è 
misurabile. Se ne deduce, per induzione, il teorema: 
Se f(x) è in (xo, X) misurabile (B) e Q(t) è in (to, T) mi- 
surabile, f[@(t)] è misurabile in (to, T). 
Alle conclusioni a cui siamo ora pervenuti, conferisce un certo 
interesse anche il seguente esempio, che esse permettono di 
(4) Cfr. il n° 33, classes de Baire, del libro del de la Vallée Poussin, 
citato a pag. l. 
() È facile vedere come va qui intesa la somma a + 8 dei due numeri 
transfiniti a e Bf. 
