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SUL CAMBIAMENTO DELLA VARIABILE DI INTEGRAZIONE, ECC. 30 
costruire, di un'infinità non numerabile di insiemi misurabili, a 
due a due senza punti comuni, costituenti un insieme misurabile. 
La variabile x percorra un insieme £, contenuto in (xo, X). 
Sia x = 9(t) la solita funzione, supposta misurabile in (to, 7). 
Si designi con E, quell'insieme misurabile formato dai punti 
del tratto (to, 7) per cui: 
x essendo un punto determinato di £,. Al variare di « nell’in- 
sieme E,, l'insieme £;© descrive un insieme E, che è costituito 
da un'infinità (numerabile o no secondochè lo è o non lo è l’in- 
sieme È.) di insiemi misurabili £;©), a due a due senza punti 
comuni. 
Sia e(x) la funzione caratteristica dell'insieme £, ('), defi- 
nita nel tratto (xo, X) in cui è contenuto £,. La teoria prece- 
dente, applicata alla funzione e[@(?)], definita in (to, 7), che ri- 
sulta la funzione caratteristica per l'insieme £,, ci permette di 
asserire che: 
Se l’insieme £, e la funzione @(?) sono misurabili (5), tale 
è anche l’insieme £,. Se a è la classe di @(t) e B la classe 
di E,, l'insieme £, risulta al più della classe a + 8. Se l’in- 
sieme /, è misurabile (B) e la funzione @ (t) è misurabile, l’in- 
sieme £, risulta misurabile. Sussiste dunque il teorema: 
Si abbia una famiglia F di insiemi misurabili, a due a due 
senza punti comuni, tutti contenuti nell'intervallo (to, 7) dell’asse £. 
Esista un insiense E, di punti dell’asse , nell'intervallo (xo, X), 
i cui punti siano in corrispondenza biunivoca con i singoli in- 
siemi E,© componenti la famiglia /, allora, se si può definire 
in (to, T) una funzione misurabile @(t), soddisfacente alla limi- 
tazione rr <®(#) = X, che per ogni punto dell’insieme £,®) 
abbia il valore costante x, ascissa del punto (xy, A) corrispon- 
dente a questo insieme, e se #, è misurabile (B), si può con- 
cludere che i punti della famiglia Y formano un insieme misu- 
rabile, che riesce inoltre misurabile (B) se la funzione @(t) è 
in (to, 7) pur essa misurabile (5). 
(') De La Vatrée Poussin, libro citato a pag. 1, n° 9. 
