36 MAURO PICONE 
Si offre spontaneamente l'esame della questione inversa di 
quella testè trattata, e cioè l'esame della misurabilità dell’in- 
sieme E, di (xo, X) descritta dalla x, legata alla # dalla rela- 
zione «= ®(t), quando # descrive un insieme misurabile E, di 
(to, T). Tale esame è stato già fatto dall’Hobson, nella nota 
citata. Noi lo riprendiamo qui, ottenendo qualche risultato 
nuovo. 
La funzione limitata € = @(#) sia monotona, e, per fissare 
le idee, supponiamola non decrescente. I punti di discontinuità 
della ©(#) formano un insieme numerabile di punti. Siano / e L 
i limiti inferiore e superiore di @(#) in (to, T), si ha x0<=/< 
<L<X. Siano t,, t2;:.-,%;-.-. 1 punti div discontimutantdì 
®@(t), e si ponga: 
tn =P(i,—-0), e =@P(+0). 
Al variare di # nell'intervallo (to, 7) il punto @ descrive 
l'insieme di punti che si ottiene dall’intervallo (xo, X) togliendo 
da esso la seguente infinità numerabile di intervalli (gli estremi 
inclusi) 
(10, 1), (L, X), (£,, t), (22°, ta) see 
ed aggiungendo, eventualmente, un numero finito o un’infinità 
(numerabile) di estremi degli intervalli indicati. L'insieme de- 
scritto da x è perciò misurabile (5). 
Pertanto: Se la funzione x = ©(t) è monotona, mentre # 
descrive un intervallo di (to, 7), x descrive un insieme misura- 
bile (B) di (xo, A). Ne segue il teorema: 
Se la funzione x = @(t) è monotona, mentre t descrive în 
(to, T) un insieme E, misurabile (B), x descrive în (xo, X) un in- 
sieme E, esso pure misurabile (B). 
Supponiamo ora che la funzione «= @(t), oltre ad essere 
monotona, sia assolutamente continua. Sia £, di misura nulla, 
esso sarà allora contenuto in un insieme costituito’ da un’infi- 
nità numerabile di intervalli (a;, 8;), la cui misura 2 (8; — @;) 
può rendersi piccola a piacere. L'insieme corrispondente &, ri- 
sulta contenuto nell'insieme costituito dall’infinità numerabile 
di intervalli [@(0,), P(8,;)], la cui misura 2[9(8;) — P(0;) |, in 
