SUL CAMBIAMENTO DELLA VARIABILE DI INTEGRAZIONE, ECC. 37 
virtù dell’assoluta continuità di © (t), è infinitesimo con 2 (8, — a). 
L'insieme £, è pertanto esso pure di misura nulla. 
Sempre nell’ipotesi che la funzione x = @(#) sia monotona 
e assolutamente continua, supponiamo, semplicemente, £, misu- 
rabile. Esistono (1) due insiemi E; e E; misurabili (B) tali che 
E < E =" E; b) 
mentre £, e E," differiscono per un insieme di misura nulla. 
Detti E,, E." gli insiemi corrispondenti, rispettivamente, a 
We: o si avrà: 
E, Gi Es = Li è) 
mentre £,, E, risultano misurabili (B) e differenti, in forza 
di quanto precede, per un insieme di misura nulla. £, risulterà 
pertanto misurabile. Onde il teorema: 
Se la funzione x = @(t) è assolutamente continua 0 monotona, 
mentre t descrive, in (to, T), un insieme E, misurabile, x descrive 
in (xo, X) un insieme E, esso pure misurabile. Se E, è di misura 
nulla, E, è di misura nulla. 
Nello studio, fatto precedentemente, della funzione di fun- 
zione f[® (#)] abbiamo dovuto sempre supporre f(x) misurabile (B) 
in (20, X). Se si suppone f(x) semplicemente misurabile, il teo- 
rema ultimamente ottenuto ci permette di enunciare il seguente: 
Se f(x) è in (xo, X) misurabile e la funzione inversa della 
funzione monotona e continua x = @(t), è, în (xo, X), assoluta- 
mente continua; la funzione f[@(t)] è misurabile in (to, T). 
3. Dimostrazione della formola (3) nell’ipotesi che f(x) 
sia misurabile (B) e limitata. — Venendo ora allo scopo 
principale della presente nota, alla dimostrazione cioè della for- 
mola (3) sotto determinate condizioni, cominciamo dal supporre 
f(x) misurabile (B) e limitata. In tale ipotesi, essendo @(t) as- 
solutamente continua in (to, 7), risulterà (cfr. n° precedente) 
f[@(t)] misurabile (B) e limitata e A(?), uno dei numeri deri- 
(5) De ra Varcée Poussin, libro citato a pag. 1, n° 80. 
