38 MAURO PICONE 
vati di @(?), sommabile (1) in (fo, 7). Si ha dunque intanto che 
f[@(0)] A(t) riuscirà pur essa sommabile in (fo, 7). In ciò che 
segue sarà di nuovo dimostrata la sommabilità di f[® (f)] A(d) 
e si stabilirà, di più, il 
TroreMA I. — La formola (3) del cambiamento della varia- 
bile di integrazione sussiste se f(x) è in (xo, X) limitata e misu- 
rabile (B). 
Cominciamo dal dimostrare il teorema nelle ipotesi che 
f(x) sia continua in (xo, X) e la funzione assolutamente con- 
tinua @(t) abbia il suo numero derivato A(t) limitato in (fo, T). — 
Se A(t) è, in tutto (tn, T), funzione continua di t, la @(t) 
ha ovunque in (fo, 7) una derivata unica ®'(#) continua, e per- 
tanto il teorema sussiste. In generale, il numero derivato A (#) 
è (?) una funzione misurabile (B) (di Baire), sarà dunque dimo- 
strato quanto vogliamo se faremo vedere che (3) detta a la 
classe (finita o transfinita) di A(t), il teorema sussiste ove si 
supponga che esso sia stato dimostrato per le funzioni @(#) di 
un nuovo derivato A(t) di classe < a. 
Sia Ax(6). A2(t), ..., A, (8), ... una successione, avente per 
limite A(?), di funzioni di classe <a e limitate ai limiti infe- 
riore e superiore di A(t), i quali sono supposti finiti. Si ponga: 
®,, () = ® (t0) + a Ni, (par: 
In virtù del teorema di Lebesgue per il passaggio al li- 
mite sotto il segno integrale, qui applicabile, si ha: 
limo, )=9%+|AMdr=90. 
ne segue, ovunque in (to, 7), 
limf[0,(0]A,0=fP 0A (A. 
(4) De La VaLLée Poussis, libro citato a pag. 1, n° 68. 
(?) Ibidem, n° 73. 
(3) Ibidem, n° 33. 
(4) Per essere sicuri che f[@» (#)] sia sempre definita in (#, T), basta 
porre f(2)=f(x0) per r <%, f(a)=f(X) per ax > X. 
