40 - MAURO PICONE 
d’altra parte si ha 
| Pal fe (2) de = [flex] As(1) dt, 
Py(to) 
.-_ (Pyl0) (1) 
lim | x de= | x) da 
N=% get ) pal dea 
ne segue l'eguaglianza (3) nella sola ipotesi della continuità 
di f(@). 
Per dimostrare il Teorema I, ora dimostrato per le fun- 
zioni f(x) misurabili (B) di classe zero, detta a la classe di f(@), 
basterà far vedere che esso sussiste ove si supponga che sia 
stato già dimostrato per le funzioni f(x) di classe <a. 
Sia f.(2), ..., fa(x),... una successione, avente per limite 
f(x), di funzioni di classe <a e limitate ai limiti inferiore e 
superiore di f(x), che sono supposti finiti. Si ha: 
rp (1) 
JP(to 
f@de=| flo MAMA, |flo OIAOIZZIAG], 
ove L è il limite superiore di [f(x)], e passando al limite per x 
divergente si ottiene, in forza del teorema di Lebesgue per il 
passaggio al limite sotto il segno integrale (del primitivo e del 
generalizzato), l'eguaglianza (3). 
4. Una dimostrazione della formola (3) nelle ipotesi 
che f(x) sia misurabile e limitata, 9(#) monotona. — Dal 
teorema testè dimostrato si deduce subito una prima dimostra- 
zione del seguente: 
TroreMma II. — La formola (3) del cambiamento della varia- 
bile di integrazione sussiste se f(x) è in (xo, X) limitata e misu- 
rabile, e @(t) è in (to, T) monotona. 
Si sa che (1!) ogni funzione f(x) misurabile e limitata è in- 
termediaria fra due funzioni misurabili (B) e limitate fi (@), 
fs (x) che non differiscono da f(x) che sopra un insieme di mi- 
sura nulla. Poichè @(?) è monotona, supponendola, per esempio, 
non decrescente, sarà A(t) => 0. Si ha: 
f@=f@=f(2), 
(')Y De ra Varcée Poussin, libro citato a pag. 1, n° 32. 
